חזרה: מרחב וקטורי, העתקות לינאריות ומטריצת מעבר
הרצאה 2 — חזרה מלינארית 1
הרצאה שנייה בקורס מוקדשת לחזרה על מרחב וקטורי, תת־מרחב, העתקות לינאריות, גרעין ותמונה, מטריצה מייצגת ומטריצת מעבר. החומר חיוני להמשך הקורס (ערכים עצמיים, דמיון מטריצות, צורת ז'ורדן).
מרחב וקטורי
מרחב וקטורי מעל שדה F F F V V V
חיבור V × V → V V \times V \to V V × V → V כפל בסקלר F × V → V F \times V \to V F × V → V
המקיימות את האקסיומות הבאות:
חיבור (קבוצה אבלית):
קומוטטיביות: u + v = v + u u + v = v + u u + v = v + u אסוציאטיביות: ( u + v ) + w = u + ( v + w ) (u + v) + w = u + (v + w) ( u + v ) + w = u + ( v + w ) קיום אפס: קיים 0 V ∈ V 0_V \in V 0 V ∈ V v + 0 V = v v + 0_V = v v + 0 V = v קיום נגדי: לכל v v v − v -v − v v + ( − v ) = 0 V v + (-v) = 0_V v + ( − v ) = 0 V
כפל בסקלר:
5. אסוציאטיביות: α ( β v ) = ( α β ) v \alpha(\beta v) = (\alpha\beta) v α ( β v ) = ( α β ) v יחידה: 1 F ⋅ v = v 1_F \cdot v = v 1 F ⋅ v = v
קשר בין הפעולות (דיסטריבוטיביות):
7. α ( u + v ) = α u + α v \alpha(u + v) = \alpha u + \alpha v α ( u + v ) = αu + αv ( α + β ) v = α v + β v (\alpha + \beta) v = \alpha v + \beta v ( α + β ) v = αv + β v
אינטואיציה
מרחב וקטורי הוא מקום שבו אפשר לעשות "אלגברה רגילה" עם וקטורים בלי לשבור חוקים.
הבחנה — שדה מול מרחב וקטורי
שדה = הסקלרים עצמם (R , Q , C \mathbb{R}, \mathbb{Q}, \mathbb{C} R , Q , C מרחב וקטורי = וקטורים שעליהם הסקלרים פועלים.מימד הוא תכונה של מרחב וקטורי, לא של שדה.
תת־מרחב
קבוצה U ⊆ V U \subseteq V U ⊆ V תת־מרחב של V V V
0 V ∈ U 0_V \in U 0 V ∈ U U U U u 1 , u 2 ∈ U ⇒ u 1 + u 2 ∈ U u_1, u_2 \in U \Rightarrow u_1 + u_2 \in U u 1 , u 2 ∈ U ⇒ u 1 + u 2 ∈ U U U U α ∈ F , u ∈ U ⇒ α u ∈ U \alpha \in F, u \in U \Rightarrow \alpha u \in U α ∈ F , u ∈ U ⇒ αu ∈ U
ניסוח מקוצר שימושי
מספיק לבדוק סגירות לצירוף לינארי : α u + β v ∈ U \alpha u + \beta v \in U αu + β v ∈ U u , v ∈ U u, v \in U u , v ∈ U α , β ∈ F \alpha, \beta \in F α , β ∈ F
תכונה
כל תת־מרחב הוא בעצמו מרחב וקטורי, עם אותן פעולות (בצמצום).
העתקה לינארית
יהיו V , W V, W V , W F F F T : V → W T: V \to W T : V → W העתקה לינארית (ה"ל / ט.ל.) אם מתקיימים שני התנאים:
אדיטיביות: T ( u + v ) = T ( u ) + T ( v ) T(u + v) = T(u) + T(v) T ( u + v ) = T ( u ) + T ( v ) הומוגניות: T ( α v ) = α T ( v ) T(\alpha v) = \alpha T(v) T ( αv ) = α T ( v )
הגדרה שקולה (שימור צירוף לינארי):
T ( α u + β v ) = α T ( u ) + β T ( v ) T(\alpha u + \beta v) = \alpha T(u) + \beta T(v) T ( αu + β v ) = α T ( u ) + βT ( v )
כלומר העתקה לינארית שומרת צירופים לינאריים .
תכונות:
T ( 0 V ) = 0 W T(0_V) = 0_W T ( 0 V ) = 0 W אם T ( 0 ) ≠ 0 T(0) \neq 0 T ( 0 ) = 0 T T T
T ( − v ) = − T ( v ) T(-v) = -T(v) T ( − v ) = − T ( v ) T ( α 1 v 1 + ⋯ + α n v n ) = α 1 T ( v 1 ) + ⋯ + α n T ( v n ) T(\alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_n v_n) = \alpha_1 T(v_1) + \cdots + \alpha_n T(v_n) T ( α 1 v 1 + ⋯ + α n v n ) = α 1 T ( v 1 ) + ⋯ + α n T ( v n ) T T T
אופרטור לינארי: אם W = V W = V W = V T : V → V T: V \to V T : V → V אופרטור לינארי .
גרעין ותמונה
יהי T : V → W T: V \to W T : V → W
גרעין (Kernel):
ker ( T ) = { v ∈ V ∣ T ( v ) = 0 W } ⊆ V \ker(T) = \{ v \in V \mid T(v) = 0_W \} \subseteq V ker ( T ) = { v ∈ V ∣ T ( v ) = 0 W } ⊆ V
תמונה (Image):
Im ( T ) = { T ( v ) ∣ v ∈ V } ⊆ W \text{Im}(T) = \{ T(v) \mid v \in V \} \subseteq W Im ( T ) = { T ( v ) ∣ v ∈ V } ⊆ W
ker T \ker T ker T V V V Im ( T ) \text{Im}(T) Im ( T ) W W W
אינטואיציה
גרעין = מה שנמחק (וקטורים שנשלחים לאפס)תמונה = מה שנוצר/נשאר (כל מה שאפשר להגיע אליו)
תובנה חשובה — וקטורים עם אותו פלט
אם T ( v 1 ) = T ( v 2 ) T(v_1) = T(v_2) T ( v 1 ) = T ( v 2 ) T ( v 1 − v 2 ) = T ( v 1 ) − T ( v 2 ) = 0 T(v_1 - v_2) = T(v_1) - T(v_2) = 0 T ( v 1 − v 2 ) = T ( v 1 ) − T ( v 2 ) = 0
כלומר v 1 − v 2 ∈ ker T v_1 - v_2 \in \ker T v 1 − v 2 ∈ ker T שני וקטורים שונים שנשלחים לאותו פלט נבדלים בוקטור מהגרעין.
משפט המימדים (Rank-Nullity)
אם T : V → W T: V \to W T : V → W V V V dim ( ker T ) + dim ( Im T ) = dim V \dim(\ker T) + \dim(\text{Im } T) = \dim V dim ( ker T ) + dim ( Im T ) = dim V
מינוחים:
dim ( ker T ) \dim(\ker T) dim ( ker T ) nullity dim ( Im T ) \dim(\text{Im } T) dim ( Im T ) rank
אינטואיציה
כל ה"מידע" ב-V V V
מה שנמחק — הולך לגרעיןמה שנשמר/מופיע בתמונה
אם הרבה וקטורים שונים נשלחים לאותו וקטור, הגרעין גדול והתמונה קטנה. אם T T T { 0 } \{0\} { 0 }
קיום ויחידות של ה"ל לפי בסיס
יהיו V , W V, W V , W F F F B = { v 1 , … , v n } B = \{v_1, \ldots, v_n\} B = { v 1 , … , v n } V V V { w 1 , … , w n } \{w_1, \ldots, w_n\} { w 1 , … , w n } W W W
אז קיימת אחת ויחידה ה"ל T : V → W T: V \to W T : V → W T ( v i ) = w i T(v_i) = w_i T ( v i ) = w i 1 ≤ i ≤ n 1 \leq i \leq n 1 ≤ i ≤ n
אינטואיציה
בסיס הוא קבוצת אבני בניין . ברגע שמחליטים מה קורה לכל אבן בנייה, כל וקטור אחר נקבע מאליו לפי ליניאריות.
בסיס סדור וקואורדינטות
בסיס סדור: בסיס שבו הסדר חשוב:
B = ( v 1 , v 2 , … , v n ) B = (v_1, v_2, \ldots, v_n) B = ( v 1 , v 2 , … , v n )
הסדר משנה כי הקואורדינטות תלויות במיקום של כל וקטור בסיס.
וקטור קואורדינטות: אם v = α 1 v 1 + ⋯ + α n v n v = \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_n v_n v = α 1 v 1 + ⋯ + α n v n B B B [ v ] B = ( α 1 α 2 ⋮ α n ) [v]_B = \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix} [ v ] B = α 1 α 2 ⋮ α n
דוגמה — מרחב הפולינומים P n P_n P n
P n P_n P n ≤ n \leq n ≤ n F F F
הבסיס הסטנדרטי: ( 1 , x , x 2 , … , x n ) (1, x, x^2, \ldots, x^n) ( 1 , x , x 2 , … , x n )
כל פולינום a 0 + a 1 x + ⋯ + a n x n a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n a 0 + a 1 x + ⋯ + a n x n
זה בסיס כי:
פורש: כל פולינום מהמרחב ניתן לכתיבה כצירוף לינארי שלהםבלתי תלוי לינארית: אם a 0 + a 1 x + ⋯ + a n x n = 0 a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n = 0 a 0 + a 1 x + ⋯ + a n x n = 0 x x x a i = 0 a_i = 0 a i = 0 יש בו n + 1 n+1 n + 1 dim P n = n + 1 \dim P_n = n + 1 dim P n = n + 1
מטריצה מייצגת של ה"ל
יהי T : V → W T: V \to W T : V → W B = { v 1 , … , v n } B = \{v_1, \ldots, v_n\} B = { v 1 , … , v n } V V V C = { w 1 , … , w m } C = \{w_1, \ldots, w_m\} C = { w 1 , … , w m } W W W
המטריצה המייצגת של T T T B B B C C C
[ T ] C B = ( [ T ( v 1 ) ] C ∣ [ T ( v 2 ) ] C ∣ ⋯ ∣ [ T ( v n ) ] C ) ∈ F m × n [T]^B_C = \Big( [T(v_1)]_C \mid [T(v_2)]_C \mid \cdots \mid [T(v_n)]_C \Big) \in F^{m \times n} [ T ] C B = ( [ T ( v 1 ) ] C ∣ [ T ( v 2 ) ] C ∣ ⋯ ∣ [ T ( v n ) ] C ) ∈ F m × n
העמודה ה-i i i T ( v i ) T(v_i) T ( v i ) C C C
סימון
אם T : V → V T: V \to V T : V → V [ T ] B : = [ T ] B B [T]_B := [T]^B_B [ T ] B := [ T ] B B
משפט (פעולת המטריצה): עבור כל v ∈ V v \in V v ∈ V [ T ( v ) ] C = [ T ] C B ⋅ [ v ] B [T(v)]_C = [T]^B_C \cdot [v]_B [ T ( v ) ] C = [ T ] C B ⋅ [ v ] B
דוגמאות
(1) האופרטור האפס O : V → V O: V \to V O : V → V O ( v ) = 0 O(v) = 0 O ( v ) = 0 v v v
[ O ] B = ( 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 ) [O]_B = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} [ O ] B = 0 ⋮ 0 ⋯ ⋯ 0 ⋮ 0
לכל בסיס B B B
(2) אופרטור הזהות I : V → V I: V \to V I : V → V I ( v ) = v I(v) = v I ( v ) = v
[ I ] B = I n = ( 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 0 1 ) [I]_B = I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} [ I ] B = I n = 1 0 ⋮ 0 0 1 ⋯ ⋯ ⋯ ⋱ 0 0 0 ⋮ 1
לכל בסיס B B B
דוגמה מורחבת — אופרטור הנגזרת על P n P_n P n
T : P n → P n T: P_n \to P_n T : P n → P n T ( p ) = p ′ T(p) = p' T ( p ) = p ′
עם הבסיס הסטנדרטי B = ( 1 , x , x 2 , … , x n ) B = (1, x, x^2, \ldots, x^n) B = ( 1 , x , x 2 , … , x n )
T ( 1 ) = 0 , T ( x ) = 1 , T ( x 2 ) = 2 x , … , T ( x n ) = n x n − 1 T(1) = 0, \quad T(x) = 1, \quad T(x^2) = 2x, \quad \ldots, \quad T(x^n) = n x^{n-1} T ( 1 ) = 0 , T ( x ) = 1 , T ( x 2 ) = 2 x , … , T ( x n ) = n x n − 1
ולכן:
[ T ] B = ( 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 2 0 ⋯ 0 0 0 0 3 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0 0 n 0 0 ⋯ 0 0 0 ) ∈ F ( n + 1 ) × ( n + 1 ) [T]_B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & \cdots & 0 \\ \vdots & & & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & n \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \in F^{(n+1) \times (n+1)} [ T ] B = 0 0 0 ⋮ 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 ⋯ ⋯ 0 0 3 ⋱ 0 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋱ 0 0 0 0 0 ⋮ n 0 ∈ F ( n + 1 ) × ( n + 1 )
עם המספרים 1 , 2 , … , n 1, 2, \ldots, n 1 , 2 , … , n
פירוט
גודל ( n + 1 ) × ( n + 1 ) (n+1) \times (n+1) ( n + 1 ) × ( n + 1 ) : כי dim P n = n + 1 \dim P_n = n+1 dim P n = n + 1 P n → P n P_n \to P_n P n → P n עמודת אפסים (ראשונה): כי T ( 1 ) = 0 T(1) = 0 T ( 1 ) = 0 שורת אפסים (אחרונה): כי הנגזרת לא יכולה לייצר איבר ממעלה n n n
נקודה פדגוגית — לא מוחקים שורת אפסים!
גם אם יש שורת אפסים, לא מוחקים אותה במטריצה מייצגת. היא חלק מהמימד של מרחב היעד.
זה שונה ממטריצה של מערכת משוואות, שבה שורת אפסים יכולה להיות "משוואה חסרת מידע".
מטריצת מעבר
יהיו B , E B, E B , E V V V מטריצת המעבר מ-B B B E E E
P E ← B = [ I ] E B = ( [ v 1 ] E ∣ [ v 2 ] E ∣ ⋯ ∣ [ v n ] E ) ∈ F n × n P_{E \leftarrow B} = [I]^B_E = \Big( [v_1]_E \mid [v_2]_E \mid \cdots \mid [v_n]_E \Big) \in F^{n \times n} P E ← B = [ I ] E B = ( [ v 1 ] E ∣ [ v 2 ] E ∣ ⋯ ∣ [ v n ] E ) ∈ F n × n
עמודותיה: וקטורי הבסיס B B B E E E
החלפת קואורדינטות:
[ v ] E = P E ← B ⋅ [ v ] B [v]_E = P_{E \leftarrow B} \cdot [v]_B [ v ] E = P E ← B ⋅ [ v ] B
אינטואיציה
זו לא העתקה חדשה — זה רק שינוי "משקפיים". אותו וקטור v v v
תכונות מטריצת המעבר
P B ← C , P C ← B ∈ F n × n P_{B \leftarrow C}, P_{C \leftarrow B} \in F^{n \times n} P B ← C , P C ← B ∈ F n × n כל מטריצת מעבר היא הפיכה
( P C ← B ) − 1 = P B ← C (P_{C \leftarrow B})^{-1} = P_{B \leftarrow C} ( P C ← B ) − 1 = P B ← C שרשור: P C ← B = P C ← D ⋅ P D ← B P_{C \leftarrow B} = P_{C \leftarrow D} \cdot P_{D \leftarrow B} P C ← B = P C ← D ⋅ P D ← B
דרך הבסיס הסטנדרטי E E E P C ← B = ( P E ← C ) − 1 ⋅ P E ← B P_{C \leftarrow B} = (P_{E \leftarrow C})^{-1} \cdot P_{E \leftarrow B} P C ← B = ( P E ← C ) − 1 ⋅ P E ← B
שינוי בסיס למטריצה מייצגת
אם T : V → V T: V \to V T : V → V B B B E E E A = [ T ] E A = [T]_E A = [ T ] E P = P E ← B P = P_{E \leftarrow B} P = P E ← B
[ T ] B = P − 1 ⋅ A ⋅ P [T]_B = P^{-1} \cdot A \cdot P [ T ] B = P − 1 ⋅ A ⋅ P
פירוט הנוסחה
[ T ( v ) ] B = P − 1 ⋅ A ⋅ P ⋅ [ v ] B [T(v)]_B = P^{-1} \cdot A \cdot P \cdot [v]_B [ T ( v ) ] B = P − 1 ⋅ A ⋅ P ⋅ [ v ] B
[ v ] B [v]_B [ v ] B v v v B B B P P P B B B E E E A A A E E E P − 1 P^{-1} P − 1 B B B
אינטואיציה
שינוי בסיס = עוברים לבסיס שבו נוח לעבוד, מפעילים את ההעתקה, וחוזרים לבסיס המקורי.
מטריצות דומות
A , A ′ ∈ M n ( F ) A, A' \in M_n(F) A , A ′ ∈ M n ( F ) דומות אם קיימת P P P A ′ = P − 1 A P A' = P^{-1} A P A ′ = P − 1 A P
המטריצות [ T ] B [T]_B [ T ] B [ T ] C [T]_C [ T ] C
למה זה חשוב?
דמיון מטריצות הוא מושג מרכזי בהמשך הקורס. לכסון, צורת ז'ורדן וערכים עצמיים כולם מבוססים על מציאת בסיס שבו המטריצה "פשוטה" ככל האפשר.
אינטואיציות לזכור
תקציר
"בסיס הוא קבוצת אבני בניין"
"הגרעין הוא מה שנמחק"
"התמונה היא מה שנשאר"
"שני וקטורים שנשלחים לאותו פלט נבדלים בוקטור מהגרעין"
"שינוי בסיס הוא שינוי משקפיים"
"מטריצות דומות = אותו אופרטור, בסיסים שונים"