ערכים עצמיים ומרחב עצמי

הרצאה 2

ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים. מרחב עצמי וריבוי גיאומטרי.

הגדרות בסיסיות

ערך עצמי: סקלר $\lambda \in F$ הוא ערך עצמי של מטריצה $A$ אם קיים וקטור $v \neq 0$ כך ש: $Av = \lambda v$

וקטור עצמי: הוקטור $v \neq 0$ נקרא וקטור עצמי השייך לערך העצמי $\lambda$ .

מציאת ערכים עצמיים

משפט: $\lambda$ ערך עצמי של $A$ אם ורק אם: $\det(A - \lambda I) = 0$

הפולינום האופייני: $p_A(\lambda) = \det(A - \lambda I)$

הערכים העצמיים הם שורשי הפולינום האופייני.

מרחב עצמי

מרחב עצמי: המרחב העצמי של $\lambda$ הוא: $V_\lambda = \ker(A - \lambda I) = \{ v \in V : Av = \lambda v \}$

זהו תת-מרחב המכיל את כל הוקטורים העצמיים השייכים ל- $\lambda$ (ואת וקטור האפס).

ריבוי גיאומטרי

ריבוי גיאומטרי: $\text{gm}(\lambda) = \dim(V_\lambda) = \dim(\ker(A - \lambda I))$

משפט: לכל ערך עצמי $\lambda$ : $1 \leq \text{gm}(\lambda)$

חישוב מרחב עצמי

כדי למצוא בסיס למרחב העצמי $V_\lambda$ , פותרים את המערכת ההומוגנית $(A - \lambda I)v = 0$ .

דוגמאות פתורות (מהתרגול)

דוגמה 1 — סיבוב ב- $90°$ ללא ע"ע ממשיים. הוכיחו שלמטריצה $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ אין ערכים עצמיים ממשיים.

פתרון: $p_A(x) = \det\begin{pmatrix} -x & -1 \\ 1 & -x \end{pmatrix} = x^2 + 1$ . אין שורשים ממשיים, אז אין ע"ע ממשיים.

אינטואיציה גיאומטרית

$A$ היא סיבוב ב- $90°$ . אף וקטור ממשי לא נשאר על ה-span שלו אחרי סיבוב כזה — לכל $v$ , $Av$ מאונך ל- $v$ ולא יכול להיות כפולה סקלרית שלו.

דוגמה 2 — מטריצת פיבונאצ'י ויחס הזהב. מצאו את הע"ע של $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ .

פתרון: $p_A(x) = \det\begin{pmatrix} 1-x & 1 \\ 1 & -x \end{pmatrix} = -x(1-x) - 1 = x^2 - x - 1$ .

שורשים: $\lambda_{1,2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ — יחס הזהב ויחס הזהב הצמוד.

סדרת פיבונאצ'י

סדרת פיבונאצ'י: $F_1 = 1, F_2 = 1, F_{n+2} = F_n + F_{n+1}$ . הקשר: $\begin{pmatrix} F_{n+1} \\ F_n \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} F_n \\ F_{n-1} \end{pmatrix}$ . דרך לכסון של $A$ נקבל את נוסחת בינה: $F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\tfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\tfrac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n\right)$ הקשר המלא ייפרס בפרק הלכסון.

דוגמה 3 — מרחבים עצמיים וריבויים. מצאו ע"ע, מרחבים עצמיים, וריבויים אלגבריים וגיאומטריים של $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 5 & 6 & 3 \end{pmatrix}$ .

פולינום אופייני (פיתוח לפי עמודה 3): $p_A(x) = (3-x)\det\begin{pmatrix} 2-x & 1 \\ 0 & 2-x \end{pmatrix} = (3-x)(2-x)^2$

ע"ע: $\lambda_1 = 2$ (ר"א $= 2$ ), $\lambda_2 = 3$ (ר"א $= 1$ ).

$E(2)$ : $A - 2I = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 5 & 6 & 1 \end{pmatrix}$ ⟹ $y = 0$ , $z = -5x$ . $E(2) = \text{span}\{(1, 0, -5)\}$ . ר"ג = 1.

$E(3)$ : $A - 3I = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}$ ⟹ $x = y = 0$ . $E(3) = \text{span}\{(0, 0, 1)\}$ . ר"ג = 1.

A

אינה לכסינה

$\text{gm}(2) = 1 < 2 = \text{am}(2)$ — תנאי הלכסון לא מתקיים. דוגמה קלאסית לכשל בלכסון.

📺 הרחבה ויזואלית — 3Blue1Brown

וקטור עצמי = וקטור שההעתקה הלינארית לא מסובבת אותו אלא רק "מותחת" אותו (אולי בכיוון ההפוך). הסקלר שמייצג את המתיחה הוא הערך העצמי. סרטון 3Blue1Brown מציג את האינטואיציה הגיאומטרית — למה דווקא וקטורים מסוימים נשארים על אותו ישר, ולמה במקרים מסוימים (כמו שיאר) יש רק כיוון עצמי אחד.

פרק 14: Eigenvectors and eigenvalues

וקטור עצמי = נשאר על ה-span שלו וקטור עצמי לא יוצא מהישר שעליו הוא נמצא — רק מתמתח

ערכים עצמיים = פקטורי המתיחה כל וקטור עצמי משויך לערך עצמי — כמה הוא נמתח (אם $\lambda < 0$ — גם נהפך)

שיאר — וקטור עצמי יחיד טרנספורמציית שיאר: רק וקטורים אופקיים נשארים על ה-span — ריבוי גיאומטרי 1

ציר סיבוב = וקטור עצמי בתלת-ממד סיבוב במרחב: הציר הוא ה-span של וקטור עצמי עם ערך עצמי 1

מההגדרה הגיאומטרית לחישוב — שרשרת הגזירה:

ההגדרה $Av = \lambda v$ נראית פשוטה, אבל היא מערבת כפל מטריצה-וקטור משמאל וכפל סקלר-וקטור מימין. כדי להפוך את שני הצדדים ל"דיבור באותה שפה" כותבים $\lambda v = \lambda I v$ — וכעת אפשר להוציא $v$ כגורם משותף.

rewrite λv as λIv הצעד המרכזי: $\lambda v = \lambda I v$ הופך את שני הצדדים לכפל מטריצה-וקטור

Av - λIv = 0 → (A - λI)v = 0 אחרי הוצאת $v$ כגורם משותף: $(A - \lambda I)v = 0$ . אנחנו מחפשים $v \neq 0$ שמשתלח לאפס ע"י $(A - \lambda I)$

det(A - λI) = 0 — אזורי הסינגולריות ולעבור על $v \neq 0$ אפשרי אם ורק אם $(A - \lambda I)$ אינה הפיכה — כלומר $\det(A - \lambda I) = 0$ . זו ההגדרה של הפולינום האופייני

קרדיט: התמונות מתוך סדרת Essence of Linear Algebra של Grant Sanderson (3Blue1Brown). השימוש בהן מותר תחת מדיניות השימוש של האתר — תמונות בודדות עם ייחוס וקישור למקור. ההסברים נכתבו עצמאית על ידי אורין; לעמיקות מלאה, צפי בסרטון ובטקסט המקורי בקישור.

ערכים עצמיים ומרחב עצמי

הרצאה 2

ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים. מרחב עצמי וריבוי גיאומטרי.

הגדרות בסיסיות

ערך עצמי: סקלר $\lambda \in F$ הוא ערך עצמי של מטריצה $A$ אם קיים וקטור $v \neq 0$ כך ש: $Av = \lambda v$

וקטור עצמי: הוקטור $v \neq 0$ נקרא וקטור עצמי השייך לערך העצמי $\lambda$ .

מציאת ערכים עצמיים

משפט: $\lambda$ ערך עצמי של $A$ אם ורק אם: $\det(A - \lambda I) = 0$

הפולינום האופייני: $p_A(\lambda) = \det(A - \lambda I)$

הערכים העצמיים הם שורשי הפולינום האופייני.

מרחב עצמי

מרחב עצמי: המרחב העצמי של $\lambda$ הוא: $V_\lambda = \ker(A - \lambda I) = \{ v \in V : Av = \lambda v \}$

זהו תת-מרחב המכיל את כל הוקטורים העצמיים השייכים ל- $\lambda$ (ואת וקטור האפס).

ריבוי גיאומטרי

ריבוי גיאומטרי: $\text{gm}(\lambda) = \dim(V_\lambda) = \dim(\ker(A - \lambda I))$

משפט: לכל ערך עצמי $\lambda$ : $1 \leq \text{gm}(\lambda)$

חישוב מרחב עצמי

כדי למצוא בסיס למרחב העצמי $V_\lambda$ , פותרים את המערכת ההומוגנית $(A - \lambda I)v = 0$ .

דוגמאות פתורות (מהתרגול)

דוגמה 1 — סיבוב ב- $90°$ ללא ע"ע ממשיים. הוכיחו שלמטריצה $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ אין ערכים עצמיים ממשיים.

פתרון: $p_A(x) = \det\begin{pmatrix} -x & -1 \\ 1 & -x \end{pmatrix} = x^2 + 1$ . אין שורשים ממשיים, אז אין ע"ע ממשיים.

אינטואיציה גיאומטרית

דוגמה 2 — מטריצת פיבונאצ'י ויחס הזהב. מצאו את הע"ע של $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ .

פתרון: $p_A(x) = \det\begin{pmatrix} 1-x & 1 \\ 1 & -x \end{pmatrix} = -x(1-x) - 1 = x^2 - x - 1$ .

שורשים: $\lambda_{1,2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ — יחס הזהב ויחס הזהב הצמוד.

סדרת פיבונאצ'י

פולינום אופייני (פיתוח לפי עמודה 3): $p_A(x) = (3-x)\det\begin{pmatrix} 2-x & 1 \\ 0 & 2-x \end{pmatrix} = (3-x)(2-x)^2$

ע"ע: $\lambda_1 = 2$ (ר"א $= 2$ ), $\lambda_2 = 3$ (ר"א $= 1$ ).

$E(2)$ : $A - 2I = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 5 & 6 & 1 \end{pmatrix}$ ⟹ $y = 0$ , $z = -5x$ . $E(2) = \text{span}\{(1, 0, -5)\}$ . ר"ג = 1.

$E(3)$ : $A - 3I = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}$ ⟹ $x = y = 0$ . $E(3) = \text{span}\{(0, 0, 1)\}$ . ר"ג = 1.

A

אינה לכסינה

$\text{gm}(2) = 1 < 2 = \text{am}(2)$ — תנאי הלכסון לא מתקיים. דוגמה קלאסית לכשל בלכסון.

📺 הרחבה ויזואלית — 3Blue1Brown

פרק 14: Eigenvectors and eigenvalues

וקטור עצמי = נשאר על ה-span שלו וקטור עצמי לא יוצא מהישר שעליו הוא נמצא — רק מתמתח

ערכים עצמיים = פקטורי המתיחה כל וקטור עצמי משויך לערך עצמי — כמה הוא נמתח (אם $\lambda < 0$ — גם נהפך)

שיאר — וקטור עצמי יחיד טרנספורמציית שיאר: רק וקטורים אופקיים נשארים על ה-span — ריבוי גיאומטרי 1

ציר סיבוב = וקטור עצמי בתלת-ממד סיבוב במרחב: הציר הוא ה-span של וקטור עצמי עם ערך עצמי 1

מההגדרה הגיאומטרית לחישוב — שרשרת הגזירה:

rewrite λv as λIv הצעד המרכזי: $\lambda v = \lambda I v$ הופך את שני הצדדים לכפל מטריצה-וקטור

Av - λIv = 0 → (A - λI)v = 0 אחרי הוצאת $v$ כגורם משותף: $(A - \lambda I)v = 0$ . אנחנו מחפשים $v \neq 0$ שמשתלח לאפס ע"י $(A - \lambda I)$

קרדיט: התמונות מתוך סדרת Essence of Linear Algebra של Grant Sanderson (3Blue1Brown). השימוש בהן מותר תחת מדיניות השימוש של האתר — תמונות בודדות עם ייחוס וקישור למקור. ההסברים נכתבו עצמאית על ידי אורין; לעמיקות מלאה, צפי בסרטון ובטקסט המקורי בקישור.