ערכים עצמיים ולכסון

ערך עצמי: סקלר $\lambda \in F$ הוא ערך עצמי של מטריצה $A$ אם קיים וקטור $v \neq 0$ כך ש: $Av = \lambda v$

וקטור עצמי: הוקטור $v \neq 0$ נקרא וקטור עצמי השייך לערך העצמי $\lambda$.

הפולינום האופייני: $p_A(\lambda) = \det(A - \lambda I)$

הערכים העצמיים הם שורשי הפולינום האופייני.

מרחב עצמי: המרחב העצמי של $\lambda$ הוא: $V_\lambda = \ker(A - \lambda I) = \{ v \in V : Av = \lambda v \}$

זהו תת-מרחב המכיל את כל הוקטורים העצמיים השייכים ל-$\lambda$ (ואת וקטור האפס).

ריבוי אלגברי: מספר הפעמים ש-$\lambda$ מופיע כשורש של הפולינום האופייני.

ריבוי גיאומטרי: $\dim(V_\lambda) = \dim(\ker(A - \lambda I))$

הגדרה: מטריצה $A$ נקראת לכסינה אם קיימת מטריצה הפיכה $P$ ומטריצה אלכסונית $D$ כך ש: $A = PDP^{-1}$

או באופן שקול: $D = P^{-1}AP$

הגדרה: מטריצה $A$ נקראת משולשת אם קיימת מטריצה הפיכה $P$ כך ש: $P^{-1}AP = T$ כאשר $T$ מטריצה משולשת עליונה.

הפולינום המינימלי $m_A(x)$ הוא הפולינום המתוקן מהדרגה הנמוכה ביותר המקיים $m_A(A) = 0$.