פולינומים

פולינומים הם הבסיס לתורת הערכים העצמיים. נלמד הגדרות בסיסיות, חילוק עם שארית, משפט בזו, gcd ופולינומים אי-פריקים, המשפט היסודי של האלגברה, נוסחאות וייטה ומשפט השורש הרציונלי.

מציבים $x = a$ בשני האגפים: $P(a) = (a - a) Q(a) + r = 0 + r = r$ לכן $r = P(a)$.

נשענת ישירות על משפט בזו:

• אם $P(a) = 0$ — השארית בחילוק ב-$(x - a)$ היא $0$, ולכן $(x - a) \mid P$.
• אם $(x - a) \mid P$ — אז $P(x) = (x - a) Q(x)$, ובהצבה $x = a$ מקבלים $P(a) = 0$.

נניח $d(x)$ מחלק את שני הגורמים. אז $d$ מחלק גם את ההפרש ביניהם: $(x - 3) - (x + 1) = -4$

כלומר $d$ מחלק את הקבוע $-4$. הקבועים הלא-אפסיים בשדה הם הפיכים — לכן $d$ עצמו קבוע, ו-$\gcd = 1$ (אחרי נרמול).

נגדיר $R = P - Q$. אז $\deg R \leq n$. אם $P, Q$ שווים ביותר מ-$n$ נקודות, אז ל-$R$ יש יותר מ-$n$ שורשים. לפי הטענה הקודמת, $R \equiv 0$, ולכן $P = Q$.

מסתכלים על קבוצת כל הפולינומים הלא־אפסיים מהצורה $Af + Bg$, ובוחרים מתוכם את $d$ עם הדרגה הקטנה ביותר.

למה דרגה מינימלית? כדי לבנות סתירה במקרה שהשארית לא אפס.

מחלקים $f$ ב-$d$: $f = d \cdot q + r, \quad \deg r < \deg d$

אבל $r = f - dq$. כיוון ש-$d$ ו-$dq$ שניהם מהצורה $Af + Bg$, גם $r$ מהצורה הזו.

אם $r \neq 0$, יש לנו איבר באותה קבוצה עם דרגה קטנה יותר — סתירה למינימליות. לכן $r = 0$, כלומר $d \mid f$. באותו אופן $d \mid g$.

אם $c$ מחלק את $f$ ואת $g$, אז $c$ מחלק כל צירוף $Af + Bg$, ובפרט את $d$. לכן $d$ הוא ה-$\gcd$.

נניח $p \nmid g$. כיוון ש-$p$ אי-פריק, המחלקים שלו הם רק קבועים או הוא עצמו (עד כדי קבוע). אם $p \nmid g$, אז כל מחלק משותף של $p$ ו-$g$ חייב להיות קבוע. לכן $\gcd(p, g) = 1$.

לפי בזו: $Up + Vg = 1$.

נכפיל ב-$h$: $Uph + Vgh = h$.

כעת:

• $p \mid Uph$ (ברור)
• $p \mid Vgh$ (כי $p \mid gh$ מהנתון)

לכן $p$ מחלק את הסכום: $p \mid h$.

מבזו: $Uf + Vg = 1$. נכפיל ב-$P$: $P = P(Uf + Vg) = UPf + VPg$ כיוון ש-$g \mid P$ ו-$f \mid P$, הביטוי $UPf + VPg$ ניתן לכתוב כך ש-$fg$ מחלק את כל אגף ימין. לכן $fg \mid P$.

• קיום: אם $f$ לא אי-פריק, מפרקים אותו $f = gh$ עם דרגות נמוכות יותר. הדרגות יורדות, ולכן התהליך עוצר.
• יחידות: אי-פריק מתנהג כמו ראשוני (משפט קודם). אם יש שני פירוקים, משווים גורם לגורם, מצמצמים, וממשיכים באינדוקציה.

בקורס לא מוכיחים את המשפט הזה — משתמשים בו כעובדה.

נתון: $P(z) = 0$. ניקח צמוד: $\overline{P(z)} = \overline{0} = 0$

מאחר שמקדמי $P$ ממשיים, הצמוד "נכנס פנימה": $\overline{P(z)} = P(\bar{z})$

לכן $P(\bar{z}) = 0$.

למה $\overline{P(z)} = P(\bar{z})$? משתמשים בתכונות הצמוד:

• $\overline{u + v} = \bar{u} + \bar{v}$
• $\overline{uv} = \bar{u} \cdot \bar{v}$
• $\overline{z^n} = (\bar{z})^n$
• $\overline{a} = a$ אם $a \in \mathbb{R}$

מפעילים על $a_n z^n + \cdots + a_0$ — כל מקדם נשאר במקומו, וכל $z^k$ הופך ל-$(\bar{z})^k$.

יהי $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ עם $n$ אי-זוגית ו-$a_n \neq 0$. בה"כ נניח $a_n > 0$ (אחרת נחליף את $P$ ב-$-P$, יש לו אותם שורשים).

שלב 1 — מנתחים את ההתנהגות בקצוות. נוציא $a_n x^n$ כגורם משותף מ-$P(x)$: $P(x) = a_n x^n \left( 1 + \frac{a_{n-1}}{a_n x} + \frac{a_{n-2}}{a_n x^2} + \cdots + \frac{a_0}{a_n x^n} \right)$

הביטוי בסוגריים שואף ל-$1$ כאשר $|x| \to \infty$, כי כל אחד מהאיברים האחרים שואף ל-$0$.

שלב 2 — קיים $M > 0$ כך שלכל $|x| > M$ הביטוי בסוגריים גדול מ-$\tfrac{1}{2}$. מכאן: $|x| > M \implies \text{sign}(P(x)) = \text{sign}(a_n x^n)$

שלב 3 — כי $n$ אי-זוגית:

• עבור $x > M$ (חיובי): $a_n x^n > 0$, ולכן $P(x) > 0$.
• עבור $x < -M$ (שלילי): $x^n < 0$ (חזקה אי-זוגית של מספר שלילי), ולכן $a_n x^n < 0$, ולכן $P(x) < 0$.

שלב 4 — משפט ערך הביניים. $P$ פונקציה רציפה $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ (כל פולינום רציף). יש לה ערך חיובי באיזשהו $x_1 > M$ וערך שלילי באיזשהו $x_2 < -M$. לפי IVT, קיים $c \in (x_2, x_1)$ כך ש-$P(c) = 0$.

כיוון ש-$c \in \mathbb{R}$, זהו שורש ממשי של $P$. $\blacksquare$

יהי $P \in \mathbb{R}[x]$. נסתכל עליו כפולינום ב-$\mathbb{C}[x]$ (כי $\mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$).

שלב 1 — פירוק מעל $\mathbb{C}$. לפי המשפט היסודי של האלגברה: $P(x) = a_n (x - z_1)(x - z_2) \cdots (x - z_n), \quad z_i \in \mathbb{C}$

שלב 2 — מסווגים את השורשים. כל $z_i$ הוא או:

• ממשי ($z_i \in \mathbb{R}$) — נשאיר את $(x - z_i)$ כגורם לינארי ממשי
• לא-ממשי ($z_i \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$) — לפי משפט השורשים הצמודים (כי $P$ ממקדמים ממשיים), גם $\bar{z_i}$ שורש, ומופיע ברשימה.

שלב 3 — מזווגים שורשים מרוכבים צמודים. עבור כל זוג $z, \bar{z}$ (עם $z \notin \mathbb{R}$): $(x - z)(x - \bar{z}) = x^2 - (z + \bar{z}) x + z \bar{z} = x^2 - 2\text{Re}(z) \cdot x + |z|^2$

שתי האבחנות החשובות:

1. המקדמים ממשיים: $2\text{Re}(z) \in \mathbb{R}$ ו-$|z|^2 \in \mathbb{R}$ (כי הצמוד שומר על $\text{Re}$ ועל הנורמה).
2. הפולינום הזה אי-פריק מעל $\mathbb{R}$: הדיסקרימיננטה היא $\Delta = (2\text{Re}(z))^2 - 4|z|^2 = 4(\text{Re}(z)^2 - |z|^2) = -4 \cdot \text{Im}(z)^2 < 0$ כי $z$ לא ממשי, לכן $\text{Im}(z) \neq 0$. דיסקרימיננטה שלילית $\Rightarrow$ אין שורשים ממשיים $\Rightarrow$ אי-פריק מעל $\mathbb{R}$.

שלב 4 — מאחדים. $P$ נכתב כעת כמכפלה של:

• $a_n$ (קבוע ממשי, המקדם המוביל)
• גורמים לינאריים ממשיים $(x - a)$ לכל שורש ממשי
• גורמים ריבועיים אי-פריקים ממשיים לכל זוג שורשים מרוכבים צמודים

כל הגורמים ממקדמים ממשיים, ולכן $P$ מתפרק מעל $\mathbb{R}$ כנדרש. $\blacksquare$

מציבים $x = p/q$ ומכפילים ב-$q^n$ — מקבלים ביטוי שלם: $a_n p^n + a_{n-1} p^{n-1} q + \cdots + a_0 q^n = 0$

כמעט כל האיברים מכילים גורם $p$, חוץ מ-$a_0 q^n$. בהעברת אגף: $a_0 q^n = -p \cdot (\text{ביטוי שלם})$

אז $p \mid a_0 q^n$. כיוון ש-$\gcd(p, q) = 1$, הגורם $p$ חייב להיות ב-$a_0$, לכן $p \mid a_0$.

באותו אופן $q \mid a_n$.

• "השארית היא מה שנשאר אחרי שכבר אי אפשר לחלק יותר"
• "אי-פריק מתנהג כמו ראשוני"
• "אם שני שורשים שונים — שני הגורמים זרים, ולכן המכפלה מחלקת"
• "וייטה: פותחים סוגריים ומשווים מקדמים"
• "השורש הרציונלי: המונה מהחופשי, המכנה מהמוביל"