פולינומים

$\alpha$ שורש של $p(x)$ אם ורק אם $(x - \alpha)$ מחלק את $p(x)$.

לפולינום מדרגה $n$ יש לכל היותר $n$ שורשים (כולל ריבויים).

לכל $p(x), g(x) \in F[x]$ עם $g(x) \neq 0$, קיימים פולינומים יחידים $q(x)$ (מנה) ו-$r(x)$ (שארית) כך ש: $p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$

כאשר $\deg(r) < \deg(g)$ או $r = 0$.

לכל $p(x), g(x) \in F[x]$ קיימים פולינומים $u(x), v(x)$ כך ש: $\gcd(p, g) = u(x) \cdot p(x) + v(x) \cdot g(x)$

לכל פולינום $p(x) \in \mathbb{C}[x]$ מדרגה $n \geq 1$ יש בדיוק $n$ שורשים ב-$\mathbb{C}$ (כולל ריבויים).

כל פולינום מעל $\mathbb{C}$ מתפרק לגורמים לינאריים: $p(x) = a_n (x - \alpha_1)(x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_n)$

אם $p(x) \in \mathbb{R}[x]$ (מקדמים ממשיים) ו-$\alpha \in \mathbb{C}$ שורש, אז גם $\bar{\alpha}$ שורש (עם אותו ריבוי).

כל פולינום מעל $\mathbb{R}$ מתפרק למכפלה של:

• גורמים לינאריים $(x - \alpha)$ עבור שורשים ממשיים
• גורמים ריבועיים $(x^2 + bx + c)$ עם $b^2 - 4c < 0$ (אי-פריקים)

$\alpha$ שורש מריבוי $k \geq 2$ של $p(x)$ אם ורק אם $\alpha$ שורש של $p(x)$ וגם של $p'(x)$.