# מרחבי מכפלה פנימית !!! info "הרצאות 8-9" מרחבי מכפלה פנימית. משפט פיתגורס, אי שוויון בסל, אי שוויון קושי-שוורץ. גודל וזווית. בסיס אורתוגונלי ואורתונורמלי. --- ## הגדרה

**הגדרה:** מכפלה פנימית על מרחב וקטורי $ V $ מעל $ \mathbb{R} $ היא פונקציה: \[ \langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \to \mathbb{R} \] המקיימת: 1. **לינאריות בארגומנט הראשון:** - $ \langle u + v, w \rangle = \langle u, w \rangle + \langle v, w \rangle $ - $ \langle \alpha u, v \rangle = \alpha \langle u, v \rangle $ 2. **סימטריה:** $ \langle u, v \rangle = \langle v, u \rangle $ 3. **חיוביות:** $ \langle v, v \rangle \geq 0 $, ושוויון אם"ם $ v = 0 $

--- ## דוגמאות

**המכפלה הסטנדרטית ב-$ \mathbb{R}^n $:** \[ \langle u, v \rangle = u \cdot v = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i \] **מכפלה פנימית על $ C[a,b] $:** \[ \langle f, g \rangle = \int_a^b f(x)g(x) \, dx \] **מכפלה פנימית על $ M_n(\mathbb{R}) $:** \[ \langle A, B \rangle = \text{tr}(A^T B) \]

--- ## נורמה

**נורמה מושרית:** הנורמה המושרית ממכפלה פנימית: \[ \|v\| = \sqrt{\langle v, v \rangle} \]

**תכונות הנורמה:** 1. $ \|v\| \geq 0 $, ושוויון אם"ם $ v = 0 $ 2. $ \|\alpha v\| = |\alpha| \|v\| $ 3. **אי-שוויון המשולש:** $ \|u + v\| \leq \|u\| + \|v\| $

--- ## אי-שוויון קושי-שוורץ

**אי-שוויון קושי-שוורץ:** \[ |\langle u, v \rangle| \leq \|u\| \cdot \|v\| \] שוויון מתקיים אם"ם $ u, v $ תלויים לינארית.

--- ## אורתוגונליות

**הגדרה:** שני וקטורים $ u, v $ **אורתוגונליים** (מסומן $ u \perp v $) אם: \[ \langle u, v \rangle = 0 \]

**קבוצה אורתוגונלית:** קבוצת וקטורים $ \{v_1, \ldots, v_n\} $ היא אורתוגונלית אם: \[ \langle v_i, v_j \rangle = 0 \quad \forall i \neq j \] **קבוצה אורתונורמלית:** קבוצה אורתוגונלית שבה $ \|v_i\| = 1 $ לכל $ i $.

**משפט:** קבוצה אורתוגונלית של וקטורים שונים מאפס היא בלתי תלויה לינארית.

--- ## משלים אורתוגונלי

**משלים אורתוגונלי:** אם $ W \subseteq V $ תת-מרחב, אז: \[ W^\perp = \{ v \in V : \langle v, w \rangle = 0 \; \forall w \in W \} \]

**משפט:** $ V = W \oplus W^\perp $ (סכום ישר) **מסקנה:** $ \dim(W) + \dim(W^\perp) = \dim(V) $

--- ## מכפלה פנימית מרוכבת

**הגדרה:** מכפלה פנימית על מרחב וקטורי $V$ מעל $\mathbb{C}$ היא פונקציה: $$\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \to \mathbb{C}$$ המקיימת: 1. **לינאריות בארגומנט הראשון:** - $\langle u + v, w \rangle = \langle u, w \rangle + \langle v, w \rangle$ - $\langle \alpha u, v \rangle = \alpha \langle u, v \rangle$ 2. **סימטריה הרמיטית:** $\langle u, v \rangle = \overline{\langle v, u \rangle}$ 3. **חיוביות:** $\langle v, v \rangle \geq 0$ (ממשי!), ושוויון אם"ם $v = 0$

!!! warning "שימו לב" מהסימטריה ההרמיטית נובע: $$\langle u, \alpha v \rangle = \bar{\alpha} \langle u, v \rangle$$ (צמוד בארגומנט השני!)

**המכפלה הסטנדרטית ב-$\mathbb{C}^n$:** $$\langle u, v \rangle = \sum_{i=1}^{n} u_i \overline{v_i} = u^* v$$

--- ## 📺 הרחבה ויזואלית — 3Blue1Brown

המכפלה הפנימית היא ההכללה של המכפלה הסקלרית הרגילה ב-$\mathbb{R}^n$ — היא משייכת לכל זוג וקטורים סקלר שמודד "כמה הם דומים בכיוון" (אורך · אורך · קוסינוס הזווית). הסרטון של 3Blue1Brown נותן את האינטואיציה הגיאומטרית מאחורי ההגדרה הצורנית. ### פרק 9: [Dot products and duality](https://www.3blue1brown.com/lessons/dot-products) ![הפירוש הגיאומטרי של מכפלה סקלרית — אורך הצל × אורך הוקטור](/assets/lini2b/3b1b/dot-products/GeometricInterpretation.svg) *הפירוש הגיאומטרי: מטילים וקטור אחד על השני וכופלים אורכים* ![סימן המכפלה תלוי בכיוון](/assets/lini2b/3b1b/dot-products/PositiveAndNegativeOutput.svg) *חיובי = כיוונים דומים, אפס = אורתוגונליים, שלילי = כיוונים מנוגדים* ![דואליות: כל וקטור מתאים להעתקה לינארית ל-$\mathbb{R}$](/assets/lini2b/3b1b/dot-products/DualityProjectingSpaceOntoDiagonalNumberLine.svg) *הדואליות בין וקטורים לפונקציונלים לינאריים — הבסיס הגיאומטרי למשפט ריס* > **קרדיט:** התמונות מתוך סדרת *Essence of Linear Algebra* של Grant Sanderson (3Blue1Brown). השימוש בהן מותר תחת [מדיניות השימוש](https://www.3blue1brown.com/about) של האתר — תמונות בודדות עם ייחוס וקישור למקור. ההסברים נכתבו עצמאית על ידי אורין; לעמיקות מלאה, צפי בסרטון ובטקסט המקורי בקישור.