מעגלי RC בזמן

קבוע הזמן

$\tau = R \cdot C$

אינטואיציה: $\tau$ הוא הזמן שלוקח לקבל להגיע ל-63% מהערך הסופי (בטעינה) או לרדת ל-37% מהערך ההתחלתי (בפריקה).

טעינת קבל

קבל שמתחיל ריק ($V_C(0) = 0$) ומחובר למקור מתח $\mathcal{E}$ דרך נגד $R$:

מתח על הקבל

$V_C(t) = \mathcal{E}\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$

זרם במעגל

$I(t) = \frac{\mathcal{E}}{R} \cdot e^{-t/\tau}$

התנהגות לאורך זמן

פריקת קבל

קבל טעון למתח $V_0$ שמתחיל להתפרק דרך נגד $R$:

$V_C(t) = V_0 \cdot e^{-t/\tau}$

$I(t) = \frac{V_0}{R} \cdot e^{-t/\tau}$

"אחרי הרבה זמן" – מצב מתמיד

כלל חשוב: אחרי הרבה זמן ($t \gg \tau$, בפועל $t > 5\tau$), הקבל מגיע למצב מתמיד.

בטעינה – אחרי הרבה זמן:

• הקבל טעון במלואו: $V_C = \mathcal{E}$
• הזרם = 0
• הקבל מתנהג כמעגל פתוח (ניתוק)

בפריקה – אחרי הרבה זמן:

• הקבל ריק: $V_C = 0$
• הזרם = 0

זיהוי מצב התחלתי וסופי

שיטה (3 שלבים)

שלב 1: מצב התחלתי ($t = 0$)

• מה המתח על הקבל רגע לפני שמשהו משתנה (מתג נסגר/נפתח)?
• כלל: מתח על קבל לא יכול לקפוץ – הוא רציף!

שלב 2: מצב סופי ($t \to \infty$)

• הקבל = מעגל פתוח (אין זרם דרכו)
• חשבו את המעגל בלי הקבל (כאילו הענף שלו נותק)
• המתח על הקבל = הפרש הפוטנציאלים בין שתי נקודות החיבור שלו

שלב 3: מעבר

• מהו $\tau = RC$? (שימו לב: ה-$R$ הוא ההתנגדות שהקבל "רואה")
• כתבו את המשוואה: $V_C(t) = V_{\text{final}} + (V_{\text{initial}} - V_{\text{final}}) \cdot e^{-t/\tau}$

נוסחה כללית (למעבר מכל מצב)

$V_C(t) = V_\infty + (V_0 - V_\infty) \cdot e^{-t/\tau}$

כאשר:

• $V_0$ = מתח התחלתי על הקבל
• $V_\infty$ = מתח סופי (ב-$t \to \infty$)

טיפ למבחן: זו הנוסחה הכי שימושית! היא עובדת גם לטעינה וגם לפריקה וגם למעברים "באמצע".

דוגמה טיפוסית למבחן

שאלה: קבל $C = 10\,\mu\text{F}$ מחובר בטור עם $R = 5\,k\Omega$ למקור $\mathcal{E} = 20\,\text{V}$. בזמן $t = 0$ המתג נסגר.

א) מהו קבוע הזמן?

ב) מהו הזרם ב-$t = 0$?

ג) מהו המתח על הקבל ב-$t = 50\,\text{ms}$?

ד) מתי הקבל יגיע ל-$V_C = 15\,\text{V}$?

פתרון:

א) $\tau = RC = 5000 \times 10 \times 10^{-6} = 0.05\,\text{s} = 50\,\text{ms}$

ב) $I(0) = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{20}{5000} = 4\,\text{mA}$

ג) $t = 50\,\text{ms} = \tau$

$V_C(\tau) = 20(1 - e^{-1}) = 20 \times 0.632 = 12.64\,\text{V}$

ד) $15 = 20(1 - e^{-t/\tau})$

$\frac{15}{20} = 1 - e^{-t/\tau}$ → $e^{-t/\tau} = 0.25$ → $-\frac{t}{\tau} = \ln(0.25)$

$t = -\tau \ln(0.25) = 0.05 \times 1.386 = 69.3\,\text{ms}$

טעויות נפוצות (מוקשים)