ניתוח מעגלים מורכבים

זיהוי צמתים אמיתיים

צומת = נקודה שבה שלושה ענפים או יותר נפגשים.

כללים לזיהוי

• חוט ישר בין שני רכיבים אינו צומת (רק שתי "כניסות")
• נקודה שממנה יוצאים 3 חוטים ומעלה – זה צומת
• שתי נקודות מחוברות בחוט בלבד (בלי רכיב) = אותו צומת!

טיפ למבחן: לפני שמתחילים לכתוב משוואות – סמנו את כל הצמתים על השרטוט. ספרו כמה צמתים יש. מספר משוואות צמתים = (מספר צמתים) $- 1$.

למה "נראה מקביל" זה לא תמיד מקביל

מתי שני רכיבים במקביל?

שני רכיבים במקביל אם ורק אם שתי הקצוות שלהם מחוברות לאותן שתי נקודות (אותם צמתים).

דוגמאות למלכודות

מקרה 1: נגד "נראה" מקביל אבל יש משהו ביניהם

   A ---[R1]--- B ---[R3]--- C
   |                         |
   +---[R2]------- ----------+

$R_1$ ו-$R_2$ לא במקביל! $R_1$ מחובר בין $A$ ל-$B$, ו-$R_2$ מחובר בין $A$ ל-$C$.

מקרה 2: מקור מתח באמצע ענף

אם יש מקור מתח בתוך ענף – אי אפשר "לקפל" אותו לחיבור מקביל פשוט. צריך קירכהוף.

מקורות באמצע ענף

כשמקור מתח נמצא בתוך ענף (לא "לבד" עם נגד חיצוני):

1. הגדירו כיוון זרם לכל ענף
2. כתבו משוואות לולאות (KVL) – שימו לב לכיוון המעבר דרך המקור
3. כתבו משוואות צמתים (KCL)
4. פתרו את מערכת המשוואות

כללי סימן עם מקורות

כשעוברים דרך מקור מתח $\mathcal{E}$:

• מ-$\boldsymbol{-}$ ל-$\boldsymbol{+}$: $+\mathcal{E}$ (עלייה)
• מ-$\boldsymbol{+}$ ל-$\boldsymbol{-}$: $-\mathcal{E}$ (ירידה)

שימו לב: הכיוון שקבעתם לזרם לא משנה את הסימן של המקור! הסימן נקבע מהכיוון שאתם עוברים בלולאה ביחס לסימני $+/-$ של המקור.

שיטה שלמה לפתרון מעגלים (קירכהוף)

שלב 1: הכנה

1. סמנו את כל הצמתים על המעגל
2. הגדירו כיוון זרם (שרירותי) לכל ענף
3. סמנו $+/-$ על כל נגד (לפי כיוון הזרם)

שלב 2: משוואות

4. כתבו משוואות צמתים (KCL): $(n-1)$ משוואות ל-$n$ צמתים
5. כתבו משוואות לולאות (KVL): כמה שצריך כדי שלכל ענף תהיה לולאה שעוברת דרכו

שלב 3: פתרון

6. ספרו: מספר נעלמים (זרמים) = מספר משוואות? אם כן – פתרו
7. אם זרם יצא שלילי → הכיוון האמיתי הפוך ממה שהגדרתם. זה בסדר!

כמה משוואות צריך?

טעויות קלאסיות של מבחנים

טעות 1: "הנגדים על אותו קו = מקביל"

לא! צריך לבדוק שהם מחוברים באותם שני צמתים.

טעות 2: התעלמות ממקור מתח בענף

אם יש מקור בענף, אי אפשר פשוט לסכום נגדים. צריך KVL.

טעות 3: סימן לא עקבי בלולאה

ברגע שבחרתם כיוון מעבר בלולאה – אל תחליפו באמצע. עברו את כל הלולאה באותו כיוון.

טעות 4: לחשוב שחוט = נגד

חוט (בלי רכיב) = $R = 0$ → קצר. שתי נקודות מחוברות בחוט = אותה נקודה מבחינת המעגל.

טעות 5: שכחת ענף

בשרטוטים מסובכים, קל לפספס ענף. סדר: עברו על כל הענפים בשרטוט וסמנו אותם.

דוגמה טיפוסית למבחן

שאלה: מעגל עם שני מקורות ושלושה נגדים:

• $\mathcal{E}_1 = 12\,\text{V}$, $\mathcal{E}_2 = 6\,\text{V}$
• $R_1 = 4\,\Omega$, $R_2 = 6\,\Omega$, $R_3 = 3\,\Omega$

$R_1$ בטור עם $\mathcal{E}_1$ (ענף שמאל), $R_2$ בטור עם $\mathcal{E}_2$ (ענף ימין), $R_3$ באמצע.

פתרון:

נגדיר זרמים: $I_1$ (ענף שמאל, למטה), $I_2$ (ענף ימין, למטה), $I_3$ (ענף אמצע, למטה).

KCL (צומת עליון): $I_1 + I_2 = I_3$

KVL (לולאה שמאלית): $12 - 4I_1 - 3I_3 = 0$

KVL (לולאה ימנית): $6 - 6I_2 - 3I_3 = 0$

מהצבה ($I_3 = I_1 + I_2$):

$12 - 4I_1 - 3(I_1 + I_2) = 0$ → $12 - 7I_1 - 3I_2 = 0$

$6 - 6I_2 - 3(I_1 + I_2) = 0$ → $6 - 3I_1 - 9I_2 = 0$

פתרון מערכת:

ממשוואה 2: $I_1 = \frac{6 - 9I_2}{3} = 2 - 3I_2$

הצבה במשוואה 1: $12 - 7(2 - 3I_2) - 3I_2 = 0$

$12 - 14 + 21I_2 - 3I_2 = 0$ → $18I_2 = 2$ → $I_2 = \frac{1}{9}\,\text{A}$

$I_1 = 2 - \frac{3}{9} = \frac{5}{3}\,\text{A}$

$I_3 = \frac{5}{3} + \frac{1}{9} = \frac{16}{9}\,\text{A}$

סיכום: מתי להשתמש בכל שיטה