מטען והתפלגות מטען

סוגי צפיפות מטען

כשמטען מפוזר על גוף (לא מטען נקודתי), משתמשים בצפיפות מטען כדי לתאר את ההתפלגות:

חישוב מטען כולל מצפיפות

$Q = \int \rho \, dV \quad \text{(נפחית)}$

$Q = \int \sigma \, dA \quad \text{(שטחית)}$

$Q = \int \lambda \, dl \quad \text{(קווית)}$

כשהצפיפות אחידה (קבועה), האינטגרל הופך לכפל פשוט:

$Q = \rho \cdot V, \quad Q = \sigma \cdot A, \quad Q = \lambda \cdot L$

כדור מוליך טעון

כדור מוליך = חומר שבו האלקטרונים חופשיים לנוע (מתכת).

למה כל המטען על השפה?

1. במוליך, מטענים חופשיים נעים עד שהשדה בפנים מתאפס
2. אם היה שדה בתוך המוליך → מטענים היו זזים → סתירה לשיווי משקל
3. לכן: $E = 0$ בתוך מוליך בשיווי משקל
4. מחוק גאוס: אם $E = 0$ בפנים → $Q_{\text{enc}} = 0$ בכל משטח פנימי
5. מסקנה: כל המטען חייב להיות על פני השטח החיצוניים

למה $E = 0$ בתוך כדור מוליך?

הוכחה מגאוס:

ניקח משטח גאוס כדורי בתוך המוליך (בתוך החומר עצמו).

• אין מטען כלוא בפנים (כל המטען על השפה)
• לכן: $\Phi = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0} = 0$
• מסימטריה: $E$ קבוע על המשטח
• לכן: $E = 0$

שדה מחוץ לכדור מוליך

מחוץ לכדור, השדה זהה לזה של מטען נקודתי הנמצא במרכז:

$E = k\frac{Q}{r^2} \quad (r > R)$

כאשר $R$ = רדיוס הכדור, $Q$ = המטען הכולל.

כדור מבודד (לא מוליך) – להבחנה!

כדור מבודד (דיאלקטרי) = המטענים לא חופשיים לנוע. המטען נשאר מפוזר בנפח.

שדה בתוך כדור מבודד עם צפיפות אחידה $\rho$

ניקח משטח גאוס כדורי ברדיוס $r < R$:

$Q_{\text{enc}} = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$

$E \cdot 4\pi r^2 = \frac{\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{\varepsilon_0}$

$\boxed{E = \frac{\rho \cdot r}{3\varepsilon_0}} \quad (r < R)$

השדה גדל ליניארית עם $r$ בתוך הכדור!

דוגמה טיפוסית למבחן

שאלה: כדור מוליך ברדיוס $R = 0.1\,\text{m}$ נושא מטען $Q = 2\,\mu\text{C}$.

א) מהו השדה ב-$r = 0.05\,\text{m}$ (בפנים)?

ב) מהו השדה ב-$r = 0.3\,\text{m}$ (בחוץ)?

ג) מהי צפיפות המטען השטחית?

פתרון:

א) כדור מוליך → $E = 0$ בפנים. נקודה.

ב) $E = k\frac{Q}{r^2} = 8.99 \times 10^9 \cdot \frac{2 \times 10^{-6}}{0.09} \approx 2 \times 10^5 \;\text{N/C}$

ג) $\sigma = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{4\pi R^2} = \frac{2 \times 10^{-6}}{4\pi (0.01)} \approx 1.59 \times 10^{-5} \;\text{C/m}^2$

טעויות נפוצות (מוקשים)