פרק 2: קריטריוני התכנסות

2.1 טורי פונקציות - הגדרות

הגדרה 2.1 (טור פונקציות)

יהי $(f_n)$ סדרת פונקציות $f_n : E \to \mathbb{C}$ . טור הפונקציות $\sum_{n} f_n$ מתכנס נקודתית לפונקציה $f$ אם לכל $z \in E$ : $S_N(z) = \sum_{n=1}^{N} f_n(z) \to f(z)$

הגדרה 2.2 (התכנסות במידה שווה של טור)

הטור $\sum_{n} f_n$ מתכנס במידה שווה על $E$ אם סדרת הסכומים החלקיים $S_N$ מתכנסת במידה שווה על $E$ , כלומר: $\sup_{z \in E} |S_N(z) - f(z)| \to 0$

הגדרה 2.3 (התכנסות בהחלט של טור פונקציות)

הטור $\sum_{n} f_n$ מתכנס בהחלט אם $\sum_{n} |f_n(z)| < \infty$ לכל $z \in E$ .

הערה

אם $(f_n) \subset C[a,b]$ , $f_n \ge 0$ , והטור $\sum_n f_n$ מתכנס נקודתית לפונקציה $f \in C[a,b]$ , אז ההתכנסות היא במידה שווה (ממשפט דיני).

2.2 מבחן M של ויירשטראס

משפט 2.4 (מבחן M של ויירשטראס)

יהיו $f_n : E \to \mathbb{C}$ ו- $\sup_E |f_n| \le M_n$ . אם $\sum_n M_n < \infty$ אז הטור $\sum_n f_n(z)$ מתכנס במידה שווה ובהחלט על $E$ .

הוכחה

נסמן $S_N(z) = \sum_{n \le N} f_n(z)$ . אז:

$\sup_E |S_m - S_k| = \sup_E \left|\sum_{n=k+1}^{m} f_n\right| \le \sum_{n=k+1}^{m} M_n < \varepsilon$

עבור $k, m$ גדולים מספיק. לפי קריטריון קושי, הטור מתכנס במידה שווה על $E$ . ההתכנסות בהחלט נובעת באופן דומה. $\blacksquare$

דוגמה

הטור $\displaystyle\sum_{n \ge 1} \frac{x^n}{(1+x)(1+x^2)\cdots(1+x^n)}$ מתכנס במידה שווה על $[0, \infty)$ .

רעיון: עבור $x < 1$ האיבר ה- $n$ חסום ע"י $x^n$ , ועבור $x \ge 1$ חסום ע"י $2^{-(n-1)}$ . ניתוח מדויק יותר סביב $x = 1$ (עם בחירה מתאימה של $c_n \uparrow 1$ ) מראה שהאיבר הכללי חסום ע"י $\frac{3}{2^{\sqrt{n}+1}}$ , וממבחן M הטור מתכנס במידה שווה.

2.3 קריטריון דיריכלה וקריטריון אבל לטורי פונקציות

משפט 2.5 (קריטריון אבל-דיריכלה לטורי פונקציות)

נתבונן בטור $\sum_{k \ge 0} a_k(t) B_k(t)$ כאשר $a_k : E \to \mathbb{C}$ ו- $B_k : E \to \mathbb{R}$ , ולכל $t \in E$ הסדרה $k \mapsto B_k(t)$ מונוטונית. אם מתקיים אחד מהתנאים:

(A) קריטריון אבל: הטור $\sum_k a_k(t)$ מתכנס במידה שווה על $E$ , ו- $\sup_{k, E} |B_k(t)| \le C$ .

(D) קריטריון דיריכלה: הסכומים החלקיים של $\sum_k a_k(t)$ חסומים במידה שווה: $\sup_{n, E} \left|\sum_{k=0}^{n} a_k(t)\right| \le M$ ו- $B_k(t) \to 0$ כש- $k \to \infty$ במידה שווה על $E$ .

אז הטור $\sum_{k \ge 0} a_k(t) B_k(t)$ מתכנס במידה שווה על $E$ .

הוכחה

ההוכחה מבוססת על סיכום בחלקים (summation by parts), אנלוגי לאינטגרציה בחלקים.

נתחיל מהזהות:

$\sum_{k=m}^{n} (A_{k+1} - A_k) B_k = A_{n+1}B_{n+1} - A_m B_m - \sum_{k=m}^{n} A_{k+1}(B_{k+1} - B_k)$

כאשר $A_k = \sum_{j=0}^{k-1} a_j(t)$ הם הסכומים החלקיים.

בתנאי (D): $|A_k| \le M$ לכל $k$ ו- $B_k \to 0$ במ"ש. מהזהות הנ"ל ומהמונוטוניות של $B_k$ :

$\left|\sum_{k=m}^{n} a_k B_k\right| \le M|B_{n+1}| + M|B_m| + M\sum_{k=m}^{n}|B_{k+1} - B_k| \le M|B_{n+1}| + M|B_m| + M|B_m - B_{n+1}| \to 0$

במידה שווה. תנאי (A) מוכח באופן דומה. $\blacksquare$

דוגמה

הטור $\displaystyle\sum_{k \ge 1} \frac{(-1)^{k-1} x^k}{k}$ מתכנס ל- $\log(1+x)$ במידה שווה על $[0,1]$ , אף על פי שאינו מתכנס בהחלט בנקודה $x=1$ . ניתן להשתמש בקריטריון דיריכלה עם $a_k(x) = (-1)^{k-1}$ ו- $B_k(x) = x^k / k$ .

2.4 טורי חזקות - הגדרה

הגדרה 2.6 (טור חזקות)

טור חזקות הוא טור מהצורה: $C(z) = \sum_{k=0}^{\infty} c_k z^k, \quad c_k, z \in \mathbb{C}$

הערה

טורי חזקות הם הדוגמה החשובה ביותר לטורי פונקציות. טבעי להסתכל עליהם במישור המרוכב. למשל, הטור $\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k x^{2k}$ מתכנס ל- $(1+x^2)^{-1}$ עבור $|x| < 1$ ומתבדר עבור $|x| \ge 1$ , אף שהפונקציה חלקה על כל $\mathbb{R}$ . הסיבה: הסינגולריות בנקודות $\pm i$ שנמצאות על הציר המדומה.

למה 2.7

נניח שהטור $\sum c_k z^k$ מתכנס בנקודה $z = w \ne 0$ . אז הוא מתכנס בהחלט ובמידה שווה בדיסק $\{|z| \le q|w|\}$ לכל $q < 1$ .

הוכחה

מכיוון שהטור $\sum c_k w^k$ מתכנס, איבריו חסומים: $\sup_k |c_k w^k| \le C$ .

לכן, עבור $|z| \le q|w|$ עם $q < 1$ :

$|c_k z^k| = |c_k w^k| \cdot \left|\frac{z}{w}\right|^k \le C q^k$

וממבחן M של ויירשטראס (עם $M_k = Cq^k$ ) הטור מתכנס במידה שווה ובהחלט. $\blacksquare$

2.5 רדיוס התכנסות ונוסחת קושי-אדמר

הגדרה 2.8 (רדיוס התכנסות)

לטור חזקות $\sum c_k z^k$ קיים רדיוס התכנסות $R = R_C$ כך שמתקיים בדיוק אחד מהמקרים:

הטור מתבדר לכל $z \ne 0$ . במקרה זה $R = 0$ .
קיים $R > 0$ כך שהטור מתכנס עבור $|z| < R$ ומתבדר עבור $|z| > R$ .
הטור מתכנס לכל $z \in \mathbb{C}$ . במקרה זה $R = \infty$ .

הערה

רדיוס ההתכנסות תלוי רק בזנב הטור, ולא נאמר דבר על מה שקורה על המעגל $|z| = R$ .

משפט 2.9 (נוסחת קושי-אדמר)

$\frac{1}{R} = \limsup_{k \to \infty} |c_k|^{1/k}$

הוכחה

יהי $R$ כמוגדר בנוסחה.

התכנסות עבור $|z| < R$ : נניח $|z| \le qR$ עם $q < 1$ . לפי תכונת הגבול העליון, לכל $\varepsilon > 0$ ול- $k \ge k_0(\varepsilon)$ :

$|c_k|^{1/k} \le \frac{1+\varepsilon}{R}$

ולכן:

$|c_k z^k| \le \left(\frac{1+\varepsilon}{R}\right)^k (qR)^k = \big((1+\varepsilon)q\big)^k$

נבחר $\varepsilon$ קטן כך ש- $(1+\varepsilon)q < 1$ , ולכן הטור מתכנס.

התבדרות עבור $|z| > R$ : נניח $|z| \ge QR$ עם $Q > 1$ . לפי תכונה נוספת של הגבול העליון, קיימת תת-סדרה $k_j \to \infty$ כך ש:

$|c_{k_j}|^{1/k_j} \ge \frac{1-\varepsilon}{R}$

אז $|c_{k_j} z^{k_j}| \ge \big((1-\varepsilon)Q\big)^{k_j} \to \infty$ , והטור מתבדר. $\blacksquare$

2.6 דוגמאות

דוגמה: פונקציית האקספוננט

$e^z = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{z^k}{k!}$ רדיוס ההתכנסות: $R = \infty$ , כי $|c_k|^{1/k} = (k!)^{-1/k} \to 0$ .

דוגמה: arctan

$\frac{1}{1+x^2} = \sum_{k \ge 0} (-1)^k x^{2k}, \quad |x| < 1$ לכן באינטגרציה איבר-איבר: $\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots, \quad |x| < 1$

דוגמה: arcsin

$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{8}x^4 + \cdots + \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}x^{2k} + \cdots, \quad |x| < 1$ לכן: $\arcsin x = x + \frac{1}{6}x^3 + \frac{3}{40}x^5 + \cdots + \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot\frac{x^{2n+1}}{2n+1} + \cdots, \quad |x| < 1$

תרגילים

תרגיל 1

יהיו $A(z) = \sum_{k \ge 0} a_k z^k$ ו- $B(z) = \sum_{k \ge 0} b_k z^k$ עם רדיוסי התכנסות $R_A, R_B$ בהתאמה. הגדירו $c_k = a_k + b_k$ . הוכיחו כי $R_C \ge \min(R_A, R_B)$ , ותנו דוגמה שבה $R_C > \min(R_A, R_B)$ .

פתרון

לפי נוסחת קושי-אדמר:

$|c_k|^{1/k} = |a_k + b_k|^{1/k} \le (|a_k| + |b_k|)^{1/k} \le 2^{1/k} \max(|a_k|^{1/k}, |b_k|^{1/k})$

לכן:

$\limsup |c_k|^{1/k} \le \max\left(\limsup |a_k|^{1/k}, \limsup |b_k|^{1/k}\right) = \max\left(\frac{1}{R_A}, \frac{1}{R_B}\right) = \frac{1}{\min(R_A, R_B)}$

ולכן $R_C \ge \min(R_A, R_B)$ .

דוגמה: $A(z) = \sum z^k$ (עם $R_A = 1$ ) ו- $B(z) = \sum (-z^k)$ (עם $R_B = 1$ ). אז $c_k = 0$ לכל $k$ , ולכן $R_C = \infty > 1 = \min(R_A, R_B)$ . $\blacksquare$

תרגיל 2

הוכיחו שלטורי החזקות $\sum_{k \ge 0} c_k z^k$ ו- $\sum_{k \ge 0} c_{k+1}(k+1)z^k$ יש אותו רדיוס התכנסות.

פתרון

נסמן $d_k = c_{k+1}(k+1)$ . לפי נוסחת קושי-אדמר:

$\limsup_{k \to \infty} |d_k|^{1/k} = \limsup_{k \to \infty} |c_{k+1}|^{1/k} \cdot (k+1)^{1/k}$

מכיוון ש- $(k+1)^{1/k} \to 1$ , נקבל:

$\limsup |d_k|^{1/k} = \limsup |c_{k+1}|^{1/k} = \limsup |c_k|^{1/k}$

(שינוי אינדקס אינו משנה את הגבול העליון). לכן שני הטורים חולקים אותו רדיוס התכנסות. $\blacksquare$

תרגיל 3

חשבו את רדיוס ההתכנסות של הטורים הבאים:

(א) $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} n! \, z^n$ $\qquad$ (ב) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n^2}$ $\qquad$ (ג) $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} 2^n z^n$

פתרון

(א) $|c_n|^{1/n} = (n!)^{1/n} \to \infty$ , ולכן $R = 0$ . הטור מתכנס רק ב- $z = 0$ . $\blacksquare$

(ב) $|c_n|^{1/n} = n^{-2/n} \to 1$ , ולכן $R = 1$ . הטור מתכנס בהחלט בדיסק $|z| < 1$ ומתבדר עבור $|z| > 1$ . על המעגל $|z| = 1$ הטור מתכנס בהחלט כי $\sum \frac{1}{n^2} < \infty$ . $\blacksquare$

(ג) $|c_n|^{1/n} = 2$ , ולכן $R = \frac{1}{2}$ . הטור מתכנס עבור $|z| < \frac{1}{2}$ ומתבדר עבור $|z| > \frac{1}{2}$ . $\blacksquare$

פרק 2: קריטריוני התכנסות

2.1 טורי פונקציות - הגדרות

הגדרה 2.1 (טור פונקציות)

הגדרה 2.2 (התכנסות במידה שווה של טור)

הגדרה 2.3 (התכנסות בהחלט של טור פונקציות)

הטור $\sum_{n} f_n$ מתכנס בהחלט אם $\sum_{n} |f_n(z)| < \infty$ לכל $z \in E$ .

הערה

אם $(f_n) \subset C[a,b]$ , $f_n \ge 0$ , והטור $\sum_n f_n$ מתכנס נקודתית לפונקציה $f \in C[a,b]$ , אז ההתכנסות היא במידה שווה (ממשפט דיני).

2.2 מבחן M של ויירשטראס

משפט 2.4 (מבחן M של ויירשטראס)

יהיו $f_n : E \to \mathbb{C}$ ו- $\sup_E |f_n| \le M_n$ . אם $\sum_n M_n < \infty$ אז הטור $\sum_n f_n(z)$ מתכנס במידה שווה ובהחלט על $E$ .

הוכחה

נסמן $S_N(z) = \sum_{n \le N} f_n(z)$ . אז:

$\sup_E |S_m - S_k| = \sup_E \left|\sum_{n=k+1}^{m} f_n\right| \le \sum_{n=k+1}^{m} M_n < \varepsilon$

עבור $k, m$ גדולים מספיק. לפי קריטריון קושי, הטור מתכנס במידה שווה על $E$ . ההתכנסות בהחלט נובעת באופן דומה. $\blacksquare$

דוגמה

הטור $\displaystyle\sum_{n \ge 1} \frac{x^n}{(1+x)(1+x^2)\cdots(1+x^n)}$ מתכנס במידה שווה על $[0, \infty)$ .

2.3 קריטריון דיריכלה וקריטריון אבל לטורי פונקציות

משפט 2.5 (קריטריון אבל-דיריכלה לטורי פונקציות)

(A) קריטריון אבל: הטור $\sum_k a_k(t)$ מתכנס במידה שווה על $E$ , ו- $\sup_{k, E} |B_k(t)| \le C$ .

אז הטור $\sum_{k \ge 0} a_k(t) B_k(t)$ מתכנס במידה שווה על $E$ .

הוכחה

ההוכחה מבוססת על סיכום בחלקים (summation by parts), אנלוגי לאינטגרציה בחלקים.

נתחיל מהזהות:

$\sum_{k=m}^{n} (A_{k+1} - A_k) B_k = A_{n+1}B_{n+1} - A_m B_m - \sum_{k=m}^{n} A_{k+1}(B_{k+1} - B_k)$

כאשר $A_k = \sum_{j=0}^{k-1} a_j(t)$ הם הסכומים החלקיים.

בתנאי (D): $|A_k| \le M$ לכל $k$ ו- $B_k \to 0$ במ"ש. מהזהות הנ"ל ומהמונוטוניות של $B_k$ :

$\left|\sum_{k=m}^{n} a_k B_k\right| \le M|B_{n+1}| + M|B_m| + M\sum_{k=m}^{n}|B_{k+1} - B_k| \le M|B_{n+1}| + M|B_m| + M|B_m - B_{n+1}| \to 0$

במידה שווה. תנאי (A) מוכח באופן דומה. $\blacksquare$

דוגמה

2.4 טורי חזקות - הגדרה

הגדרה 2.6 (טור חזקות)

טור חזקות הוא טור מהצורה: $C(z) = \sum_{k=0}^{\infty} c_k z^k, \quad c_k, z \in \mathbb{C}$

הערה

למה 2.7

נניח שהטור $\sum c_k z^k$ מתכנס בנקודה $z = w \ne 0$ . אז הוא מתכנס בהחלט ובמידה שווה בדיסק $\{|z| \le q|w|\}$ לכל $q < 1$ .

הוכחה

מכיוון שהטור $\sum c_k w^k$ מתכנס, איבריו חסומים: $\sup_k |c_k w^k| \le C$ .

לכן, עבור $|z| \le q|w|$ עם $q < 1$ :

$|c_k z^k| = |c_k w^k| \cdot \left|\frac{z}{w}\right|^k \le C q^k$

וממבחן M של ויירשטראס (עם $M_k = Cq^k$ ) הטור מתכנס במידה שווה ובהחלט. $\blacksquare$

2.5 רדיוס התכנסות ונוסחת קושי-אדמר

הגדרה 2.8 (רדיוס התכנסות)

לטור חזקות $\sum c_k z^k$ קיים רדיוס התכנסות $R = R_C$ כך שמתקיים בדיוק אחד מהמקרים:

הטור מתבדר לכל $z \ne 0$ . במקרה זה $R = 0$ .
קיים $R > 0$ כך שהטור מתכנס עבור $|z| < R$ ומתבדר עבור $|z| > R$ .
הטור מתכנס לכל $z \in \mathbb{C}$ . במקרה זה $R = \infty$ .

הערה

רדיוס ההתכנסות תלוי רק בזנב הטור, ולא נאמר דבר על מה שקורה על המעגל $|z| = R$ .

משפט 2.9 (נוסחת קושי-אדמר)

$\frac{1}{R} = \limsup_{k \to \infty} |c_k|^{1/k}$

הוכחה

יהי $R$ כמוגדר בנוסחה.

התכנסות עבור $|z| < R$ : נניח $|z| \le qR$ עם $q < 1$ . לפי תכונת הגבול העליון, לכל $\varepsilon > 0$ ול- $k \ge k_0(\varepsilon)$ :

$|c_k|^{1/k} \le \frac{1+\varepsilon}{R}$

ולכן:

$|c_k z^k| \le \left(\frac{1+\varepsilon}{R}\right)^k (qR)^k = \big((1+\varepsilon)q\big)^k$

נבחר $\varepsilon$ קטן כך ש- $(1+\varepsilon)q < 1$ , ולכן הטור מתכנס.

התבדרות עבור $|z| > R$ : נניח $|z| \ge QR$ עם $Q > 1$ . לפי תכונה נוספת של הגבול העליון, קיימת תת-סדרה $k_j \to \infty$ כך ש:

$|c_{k_j}|^{1/k_j} \ge \frac{1-\varepsilon}{R}$

אז $|c_{k_j} z^{k_j}| \ge \big((1-\varepsilon)Q\big)^{k_j} \to \infty$ , והטור מתבדר. $\blacksquare$

2.6 דוגמאות

דוגמה: פונקציית האקספוננט

$e^z = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{z^k}{k!}$ רדיוס ההתכנסות: $R = \infty$ , כי $|c_k|^{1/k} = (k!)^{-1/k} \to 0$ .

דוגמה: arctan

$\frac{1}{1+x^2} = \sum_{k \ge 0} (-1)^k x^{2k}, \quad |x| < 1$ לכן באינטגרציה איבר-איבר: $\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots, \quad |x| < 1$

דוגמה: arcsin

תרגילים

תרגיל 1

פתרון

לפי נוסחת קושי-אדמר:

$|c_k|^{1/k} = |a_k + b_k|^{1/k} \le (|a_k| + |b_k|)^{1/k} \le 2^{1/k} \max(|a_k|^{1/k}, |b_k|^{1/k})$

לכן:

$\limsup |c_k|^{1/k} \le \max\left(\limsup |a_k|^{1/k}, \limsup |b_k|^{1/k}\right) = \max\left(\frac{1}{R_A}, \frac{1}{R_B}\right) = \frac{1}{\min(R_A, R_B)}$

ולכן $R_C \ge \min(R_A, R_B)$ .

דוגמה: $A(z) = \sum z^k$ (עם $R_A = 1$ ) ו- $B(z) = \sum (-z^k)$ (עם $R_B = 1$ ). אז $c_k = 0$ לכל $k$ , ולכן $R_C = \infty > 1 = \min(R_A, R_B)$ . $\blacksquare$

תרגיל 2

הוכיחו שלטורי החזקות $\sum_{k \ge 0} c_k z^k$ ו- $\sum_{k \ge 0} c_{k+1}(k+1)z^k$ יש אותו רדיוס התכנסות.

פתרון

נסמן $d_k = c_{k+1}(k+1)$ . לפי נוסחת קושי-אדמר:

$\limsup_{k \to \infty} |d_k|^{1/k} = \limsup_{k \to \infty} |c_{k+1}|^{1/k} \cdot (k+1)^{1/k}$

מכיוון ש- $(k+1)^{1/k} \to 1$ , נקבל:

$\limsup |d_k|^{1/k} = \limsup |c_{k+1}|^{1/k} = \limsup |c_k|^{1/k}$

(שינוי אינדקס אינו משנה את הגבול העליון). לכן שני הטורים חולקים אותו רדיוס התכנסות. $\blacksquare$

תרגיל 3

חשבו את רדיוס ההתכנסות של הטורים הבאים:

(א) $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} n! \, z^n$ $\qquad$ (ב) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n^2}$ $\qquad$ (ג) $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} 2^n z^n$

פתרון

(א) $|c_n|^{1/n} = (n!)^{1/n} \to \infty$ , ולכן $R = 0$ . הטור מתכנס רק ב- $z = 0$ . $\blacksquare$

(ג) $|c_n|^{1/n} = 2$ , ולכן $R = \frac{1}{2}$ . הטור מתכנס עבור $|z| < \frac{1}{2}$ ומתבדר עבור $|z| > \frac{1}{2}$ . $\blacksquare$