פרק 2: קריטריוני התכנסות
2.1 טורי פונקציות - הגדרות
יהי סדרת פונקציות . טור הפונקציות מתכנס נקודתית לפונקציה אם לכל :
הטור מתכנס במידה שווה על אם סדרת הסכומים החלקיים מתכנסת במידה שווה על , כלומר:
הטור מתכנס בהחלט אם לכל .
אם , , והטור מתכנס נקודתית לפונקציה , אז ההתכנסות היא במידה שווה (ממשפט דיני).
2.2 מבחן M של ויירשטראס
יהיו ו-. אם אז הטור מתכנס במידה שווה ובהחלט על .
הוכחה
נסמן . אז:
עבור גדולים מספיק. לפי קריטריון קושי, הטור מתכנס במידה שווה על . ההתכנסות בהחלט נובעת באופן דומה.
הטור מתכנס במידה שווה על .
רעיון: עבור האיבר ה- חסום ע"י , ועבור חסום ע"י . ניתוח מדויק יותר סביב (עם בחירה מתאימה של ) מראה שהאיבר הכללי חסום ע"י , וממבחן M הטור מתכנס במידה שווה.
2.3 קריטריון דיריכלה וקריטריון אבל לטורי פונקציות
נתבונן בטור כאשר ו-, ולכל הסדרה מונוטונית. אם מתקיים אחד מהתנאים:
(A) קריטריון אבל: הטור מתכנס במידה שווה על , ו-.
(D) קריטריון דיריכלה: הסכומים החלקיים של חסומים במידה שווה: ו- כש- במידה שווה על .
אז הטור מתכנס במידה שווה על .
הוכחה
ההוכחה מבוססת על סיכום בחלקים (summation by parts), אנלוגי לאינטגרציה בחלקים.
נתחיל מהזהות:
כאשר הם הסכומים החלקיים.
בתנאי (D): לכל ו- במ"ש. מהזהות הנ"ל ומהמונוטוניות של :
במידה שווה. תנאי (A) מוכח באופן דומה.
הטור מתכנס ל- במידה שווה על , אף על פי שאינו מתכנס בהחלט בנקודה . ניתן להשתמש בקריטריון דיריכלה עם ו-.
2.4 טורי חזקות - הגדרה
טור חזקות הוא טור מהצורה:
טורי חזקות הם הדוגמה החשובה ביותר לטורי פונקציות. טבעי להסתכל עליהם במישור המרוכב. למשל, הטור מתכנס ל- עבור ומתבדר עבור , אף שהפונקציה חלקה על כל . הסיבה: הסינגולריות בנקודות שנמצאות על הציר המדומה.
נניח שהטור מתכנס בנקודה . אז הוא מתכנס בהחלט ובמידה שווה בדיסק לכל .
הוכחה
מכיוון שהטור מתכנס, איבריו חסומים: .
לכן, עבור עם :
וממבחן M של ויירשטראס (עם ) הטור מתכנס במידה שווה ובהחלט.
2.5 רדיוס התכנסות ונוסחת קושי-אדמר
לטור חזקות קיים רדיוס התכנסות כך שמתקיים בדיוק אחד מהמקרים:
- הטור מתבדר לכל . במקרה זה .
- קיים כך שהטור מתכנס עבור ומתבדר עבור .
- הטור מתכנס לכל . במקרה זה .
רדיוס ההתכנסות תלוי רק בזנב הטור, ולא נאמר דבר על מה שקורה על המעגל .
הוכחה
יהי כמוגדר בנוסחה.
התכנסות עבור : נניח עם . לפי תכונת הגבול העליון, לכל ול-:
ולכן:
נבחר קטן כך ש-, ולכן הטור מתכנס.
התבדרות עבור : נניח עם . לפי תכונה נוספת של הגבול העליון, קיימת תת-סדרה כך ש:
אז , והטור מתבדר.
2.6 דוגמאות
רדיוס ההתכנסות: , כי .
לכן באינטגרציה איבר-איבר:
לכן:
תרגילים
יהיו ו- עם רדיוסי התכנסות בהתאמה. הגדירו . הוכיחו כי , ותנו דוגמה שבה .
פתרון
לפי נוסחת קושי-אדמר:
לכן:
ולכן .
דוגמה: (עם ) ו- (עם ). אז לכל , ולכן .
הוכיחו שלטורי החזקות ו- יש אותו רדיוס התכנסות.
פתרון
נסמן . לפי נוסחת קושי-אדמר:
מכיוון ש-, נקבל:
(שינוי אינדקס אינו משנה את הגבול העליון). לכן שני הטורים חולקים אותו רדיוס התכנסות.
חשבו את רדיוס ההתכנסות של הטורים הבאים:
(א) (ב) (ג)
פתרון
(א) , ולכן . הטור מתכנס רק ב-.
(ב) , ולכן . הטור מתכנס בהחלט בדיסק ומתבדר עבור . על המעגל הטור מתכנס בהחלט כי .
(ג) , ולכן . הטור מתכנס עבור ומתבדר עבור .