# פרק 3: התכנסות במ"ש, גזירות ואינטגרביליות ## 3.1 גזירה איבר-איבר של טורי פונקציות !!! success "משפט 3.1 (גזירה איבר-איבר של טורי פונקציות)" תהי $(f_n) \subset C^1[a,b]$ סדרת פונקציות גזירות ברציפות, ותהי $g$ פונקציה כך ש-$f_n' \rightrightarrows g$ (התכנסות במ"ש). נניח שקיימת נקודה $c \in [a,b]$ שבה הסדרה $(f_n(c))$ מתכנסת. אז $f_n \rightrightarrows f$, כאשר $f \in C^1[a,b]$ ו-$f' = g$. **במילים אחרות:** אם הנגזרות מתכנסות במ"ש, והערכים מתכנסים בנקודה אחת לפחות, אז הפונקציות מתכנסות במ"ש לפונקציה גזירה, והנגזרת של הגבול שווה לגבול הנגזרות. ??? example "הוכחה" **שלב 1 - התכנסות נקודתית:** לכל $x \in [a,b]$: $$f_n(x) - f_n(c) = \int_c^x f_n' \to \int_c^x g$$ (מההתכנסות במ"ש של $f_n'$ ל-$g$). מכאן $f_n \to f$ נקודתית, כאשר: $$f(x) - f(c) = \int_c^x g$$ לכן לפי המשפט היסודי: $f \in C^1[a,b]$ ו-$f' = g$. **שלב 2 - התכנסות במ"ש:** לכל $x \in [a,b]$: $$|f_n(x) - f(x)| \leq |(f_n(x) - f_n(c)) - (f(x) - f(c))| + |f_n(c) - f(c)|$$ $$\leq \int_a^b |f_n' - g| + |f_n(c) - f(c)|$$ אגף ימין אינו תלוי ב-$x$ ושואף לאפס, לכן $f_n \rightrightarrows f$. $\blacksquare$ !!! note "הערה" **עבור טורי פונקציות:** אם $(f_n) \subset C^1[a,b]$ והטור $\sum f_n'$ מתכנס במ"ש, אז: $$\left(\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)\right)' = \sum_{n=1}^{\infty} f_n'(x)$$ כלומר, ניתן לגזור טור מתכנס במ"ש איבר-איבר, בתנאי שטור הנגזרות מתכנס במ"ש. ## 3.2 אינטגרציה איבר-איבר של טורי פונקציות !!! success "משפט 3.2 (אינטגרציה איבר-איבר)" תהי $(f_n) \subset C[a,b]$, ונניח שהטור $\sum f_n$ מתכנס במ"ש לפונקציה $f$. אז $f \in C[a,b]$ ו: $$\int_a^b f = \sum_{n=1}^{\infty} \int_a^b f_n$$ כלומר, ניתן לאינטגר טור מתכנס במ"ש של פונקציות רציפות איבר-איבר. ??? example "הוכחה" מכיוון שהטור מתכנס במ"ש, הסכומים החלקיים $S_N = \sum_{n=1}^N f_n$ מתכנסים במ"ש ל-$f$. כל $S_N$ רציפה (סכום סופי של פונקציות רציפות), ולכן $f$ רציפה (גבול במ"ש של פונקציות רציפות). $$\int_a^b f = \int_a^b \lim_{N \to \infty} S_N = \lim_{N \to \infty} \int_a^b S_N = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^N \int_a^b f_n = \sum_{n=1}^{\infty} \int_a^b f_n$$ ההחלפה של הגבול והאינטגרל מוצדקת בזכות ההתכנסות במ"ש. $\blacksquare$ ## 3.3 גזירה ואינטגרציה של טורי חזקות !!! info "הגדרה 3.3 (טור חזקות)" **טור חזקות** הוא טור מהצורה: $$C(z) = \sum_{k=0}^{\infty} c_k z^k$$ כאשר $c_k \in \mathbb{C}$ ו-$z \in \mathbb{C}$. **רדיוס ההתכנסות** $R$ מוגדר על ידי נוסחת קושי-אדמר: $$\frac{1}{R} = \limsup_{k \to \infty} |c_k|^{1/k}$$ !!! success "משפט 3.4 (גזירה איבר-איבר של טורי חזקות)" יהי טור חזקות $C(z) = \sum_{k=0}^{\infty} c_k z^k$ עם רדיוס התכנסות $R > 0$. אז: 1. הנגזרת $C'(z)$ קיימת לכל $|z| < R$, ושווה ל: $$C'(z) = \sum_{k=1}^{\infty} k c_k z^{k-1} = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) c_{k+1} z^k$$ 2. לטור הנגזרות יש **אותו רדיוס התכנסות** $R$. 3. ניתן לחזור על התהליך: $C \in C^{\infty}(-R, R)$, ולכל $j \geq 1$: $$C^{(j)}(z) = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1)(k+2)\cdots(k+j) \, c_{k+j} \, z^k$$ ??? example "הוכחה" נסמן $C_1(z) = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1)c_{k+1} z^k$. לטור זה אותו רדיוס התכנסות $R$. יהי $|z| < R$. נבחר $\rho$ כך ש-$|z| + |h| \leq \rho < R$. אז: $$\frac{C(z+h) - C(z)}{h} - C_1(z) = \sum_{k \geq 2} c_k \sum_{\ell=0}^{k-2} z^{\ell} \left[(z+h)^{k-1-\ell} - z^{k-1-\ell}\right]$$ באמצעות הערכה: $$\left|\frac{C(z+h) - C(z)}{h} - C_1(z)\right| \leq |h| \sum_{k \geq 2} |c_k| (k-1)^2 \rho^{k-2}$$ מכיוון ש-$\rho < R$, הטור באגף ימין מתכנס, ולכן הביטוי שואף ל-$0$ כאשר $h \to 0$. $\blacksquare$ !!! success "משפט 3.5 (אינטגרציה איבר-איבר של טורי חזקות)" יהי $f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k$ עם רדיוס התכנסות $R > 0$. אז לכל $|x| < R$: $$\int_0^x f(t) \, dt = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{a_k}{k+1} x^{k+1}$$ כלומר, ניתן לאינטגר טור חזקות איבר-איבר בתוך רדיוס ההתכנסות. !!! note "הערה" המקדמים של טור חזקות הם בהכרח מקדמי טיילור: $$c_j = \frac{C^{(j)}(0)}{j!}, \quad j \geq 0$$ זוהי תוצאה ישירה של גזירה חוזרת והצבת $z = 0$. ## 3.4 פונקציות אנליטיות ומשפט טיילור !!! info "הגדרה 3.6 (פונקציה אנליטית)" פונקציה $f$ נקראת **אנליטית** בנקודה $x_0$ אם היא שווה לטור חזקות בסביבה של $x_0$: $$f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k (x - x_0)^k, \quad |x - x_0| < R$$ לפי משפט 3.4, בהכרח $a_k = \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}$, כלומר הטור הוא טור טיילור של $f$. !!! success "משפט 3.7 (יחידות טור חזקות)" אם שני טורי חזקות $\sum a_k x^k$ ו-$\sum b_k x^k$ מייצגים את אותה פונקציה על $(-R, R)$, אז $a_k = b_k$ לכל $k \geq 0$. ??? example "הוכחה" נסמן $f(x) = \sum a_k x^k = \sum b_k x^k$. לפי משפט 3.4, $f$ גזירה אינסוף פעמים, ו: $$a_j = \frac{f^{(j)}(0)}{j!} = b_j$$ לכל $j \geq 0$. $\blacksquare$ !!! success "טענה 3.8 (תכונות טורי חזקות)" יהי $f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k$ עם רדיוס התכנסות $R_f > 0$. אז: **(א)** $f \in C^{\infty}(-R_f, R_f)$ **(ב)** לכל $j \geq 1$: $$f^{(j)}(x) = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1)(k+2)\cdots(k+j) \, a_{k+j} \, x^k, \quad |x| < R_f$$ **(ג)** $a_j = \frac{f^{(j)}(0)}{j!}$ לכל $j \geq 0$ (המקדמים הם מקדמי טיילור). ## 3.5 דוגמאות חשובות ### הפונקציה האקספוננציאלית $e^x$ !!! example "דוגמה" $$e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}, \quad R = \infty$$ **גזירה:** $(e^x)' = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k \cdot x^{k-1}}{k!} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k-1}}{(k-1)!} = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{x^m}{m!} = e^x$ הפונקציה $e^x$ היא הפתרון של המשוואה הדיפרנציאלית $f' = f$ עם $f(0) = 1$. **משוואת הכפל:** $e^{z+w} = e^z \cdot e^w$ נובעת ממכפלת קושי של הטורים. ### הפונקציות הטריגונומטריות $\sin x, \cos x$ !!! example "דוגמה" $$\sin x = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots, \quad R = \infty$$ $$\cos x = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots, \quad R = \infty$$ **גזירה איבר-איבר:** $$(\sin x)' = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{(2k+1)x^{2k}}{(2k+1)!} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} = \cos x$$ **נוסחת אוילר:** $e^{iz} = \cos z + i \sin z$ ### הפונקציה $\ln(1+x)$ !!! example "דוגמה" נתחיל מהטור הגיאומטרי: $\frac{1}{1+t} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k t^k$ עבור $|t| < 1$. **אינטגרציה איבר-איבר:** $$\ln(1+x) = \int_0^x \frac{dt}{1+t} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{k+1}}{k+1} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$$ עבור $|x| < 1$. **נוסחת לייבניץ:** הטור $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \cdots$ מתכנס, ולפי משפט אבל: $$\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$$ ### הפונקציה $(1+x)^{\alpha}$ (הבינום המוכלל) !!! example "דוגמה" לכל $\alpha \in \mathbb{R}$ ו-$|x| < 1$: $$(1+x)^{\alpha} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha}{k} x^k$$ כאשר המקדם הבינומי המוכלל: $$\binom{\alpha}{k} = \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-k+1)}{k!}$$ **מקרים פרטיים:** - $\alpha = -1$: $\frac{1}{1+x} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k x^k$ - $\alpha = \frac{1}{2}$: $\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \cdots$ ### $\arctan x$ מאינטגרציה !!! example "דוגמה" מתוך $\frac{1}{1+t^2} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k t^{2k}$ עבור $|t| < 1$, אינטגרציה איבר-איבר נותנת: $$\arctan x = \int_0^x \frac{dt}{1+t^2} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{2k+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots$$ עבור $|x| < 1$. ## 3.6 משפט אבל !!! success "משפט 3.9 (אבל)" נניח שטור החזקות $f(z) = \sum_{k=0}^{\infty} c_k z^k$ מתכנס בנקודה $z = w$. אז הוא מתכנס במ"ש על הקטע $[0, w]$. **בפרט:** $f \in C[0, w]$, ולכן: $$f(w) = \lim_{z \to w^-} f(z) = \lim_{r \uparrow 1} \sum_{k=0}^{\infty} c_k r^k w^k$$ ??? example "הוכחה" יהי $z \in [0, w]$, כלומר $z = tw$ עבור $0 \leq t \leq 1$. אז: $$f(z) = \sum_{k=0}^{\infty} c_k t^k w^k$$ נסמן $a_k = c_k w^k$ (לא תלוי ב-$t$, והטור $\sum a_k$ מתכנס), ו-$B_k = t^k$ (סדרה מונוטונית לא עולה וחסומה במ"ש עבור $t \in [0,1]$). לפי מבחן אבל להתכנסות במ"ש, הטור $\sum c_k t^k w^k$ מתכנס במ"ש על $[0, 1]$, כלומר $\sum c_k z^k$ מתכנס במ"ש על $[0, w]$. $\blacksquare$ !!! note "הערה" מקרה פרטי חשוב: אם $\sum_{k=0}^{\infty} c_k e^{ik\theta}$ מתכנס, אז: $$\sum_{k=0}^{\infty} c_k e^{ik\theta} = \lim_{r \uparrow 1} \sum_{k=0}^{\infty} c_k r^k e^{ik\theta}$$ --- ## תרגילים !!! question "תרגיל 1" מצאו את טור טיילור של $f(x) = \arctan x$ סביב $x_0 = 0$, וחשבו את $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1}$. ??? success "פתרון" נתחיל מהזהות: $\frac{1}{1+t^2} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k t^{2k}$ עבור $|t| < 1$. אינטגרציה איבר-איבר (מותרת בתוך רדיוס ההתכנסות, לפי משפט 3.5): $$\arctan x = \int_0^x \frac{dt}{1+t^2} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1} x^{2k+1}, \quad |x| < 1$$ הטור $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1}$ מתכנס (לפי לייבניץ), ולכן לפי משפט אבל: $$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1} = \lim_{x \uparrow 1} \arctan x = \arctan 1 = \frac{\pi}{4}$$ קיבלנו את הנוסחה: $\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots$ $\blacksquare$ !!! question "תרגיל 2" הוכיחו כי $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \ln 2$ באמצעות טורי חזקות. ??? success "פתרון" נתחיל מהטור הגיאומטרי: $\frac{1}{1+t} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k t^k$ עבור $|t| < 1$. אינטגרציה איבר-איבר: $$\ln(1+x) = \int_0^x \frac{dt}{1+t} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k+1} x^{k+1} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k} x^k$$ עבור $|x| < 1$. הטור $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k}$ מתכנס (לפי לייבניץ: $\frac{1}{k}$ סדרה יורדת ל-$0$). לפי משפט אבל (משפט 3.9), הפונקציה $\ln(1+x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k} x^k$ רציפה על $[0, 1]$, ולכן: $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \lim_{x \uparrow 1} \ln(1+x) = \ln 2$$ $\blacksquare$ !!! question "תרגיל 3" יהי $f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$. הוכיחו באמצעות גזירה איבר-איבר כי $f'(x) = f(x)$, והסיקו כי $f(x) = e^x$. ??? success "פתרון" רדיוס ההתכנסות הוא $R = \infty$ (לפי מבחן המנה: $\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{1}{k+1} \to 0$). לפי משפט 3.4, ניתן לגזור איבר-איבר בתוך רדיוס ההתכנסות: $$f'(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k \cdot x^{k-1}}{k!} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k-1}}{(k-1)!} = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{x^m}{m!} = f(x)$$ לכן $f$ מקיימת $f' = f$ עם $f(0) = 1$. נגדיר $g(x) = f(x) \cdot e^{-x}$. אז: $$g'(x) = f'(x) e^{-x} - f(x) e^{-x} = (f'(x) - f(x)) e^{-x} = 0$$ לכן $g$ קבועה, ו-$g(0) = f(0) \cdot 1 = 1$, כלומר $f(x) e^{-x} = 1$, ומכאן $f(x) = e^x$. $\blacksquare$