פרק 1: התכנסות נקודתית ובמידה שווה

1.1 התכנסות נקודתית

הגדרה 1.1 (התכנסות נקודתית)

תהי $(f_n)$ סדרת פונקציות ממשיות על קבוצה $E \subseteq \mathbb{R}$ . הסדרה מתכנסת נקודתית לפונקציה $f$ אם לכל $x \in E$ : $f_n(x) \to f(x)$

כלומר: $\forall x \in E \; \forall \varepsilon > 0 \; \exists N = N(x, \varepsilon) \; \forall n > N : |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon$

הערה

בהתכנסות נקודתית, ה- $N$ יכול לתלות גם ב- $x$ וגם ב- $\varepsilon$ . עבור $x$ שונים, ייתכן שנצטרך $N$ גדול יותר.

1.2 התכנסות במידה שווה

הגדרה 1.2 (התכנסות במידה שווה)

סדרת פונקציות $(f_n)$ על $E$ מתכנסת במידה שווה (במ"ש) לפונקציה $f$ אם: $\sup_{x \in E} |f_n(x) - f(x)| \to 0, \quad n \to \infty$

כלומר: $\forall \varepsilon > 0 \; \exists N = N(\varepsilon) \; \forall n > N \; \forall x \in E : |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon$

נסמן $f_n \rightrightarrows f$ על $E$ .

הערה

התכנסות במ"ש חזקה יותר מהתכנסות נקודתית: אם $f_n \rightrightarrows f$ אז $f_n \to f$ נקודתית, אך לא להפך. ההבדל המהותי הוא שבהתכנסות במ"ש, ה- $N$ תלוי רק ב- $\varepsilon$ ולא ב- $x$ .

1.3 דוגמאות

דוגמה 1

הסדרה $f_n(x) = x^n$ על $[0, 1]$ .

גבול נקודתי: $f(x) = \begin{cases} 0, & 0 \le x < 1 \\ 1, & x = 1 \end{cases}$

ההתכנסות היא נקודתית בלבד על $[0, 1]$ ולא במ"ש, כי הפונקציה הגבולית אינה רציפה למרות שכל $f_n$ רציפה.

על $[0, 0.99]$ ההתכנסות היא במ"ש ל- $0$ , כי $\sup_{[0, 0.99]} |x^n| = 0.99^n \to 0$ .

דוגמה 2

הסדרה $f_n(x) = x^n - x^{2n}$ על $[0, 1]$ .

מתכנסת נקודתית ל- $0$ על $[0, 1]$ , אך לא במ"ש, כי: $\max_{[0,1]} f_n = \frac{1}{4}$

(המקסימום מתקבל ב- $x = 2^{-1/n}$ , ולכן $\sup |f_n - 0| = \frac{1}{4} \not\to 0$ .)

דוגמה 3

הסדרה $f_n(x) = \frac{1}{n}\sin(n^2 x)$ מתכנסת ל- $0$ במידה שווה על $\mathbb{R}$ , כי: $\sup_{x \in \mathbb{R}} |f_n(x)| = \frac{1}{n} \to 0$

1.4 קריטריון קושי להתכנסות במידה שווה

!!! success "משפט 1.3 (קריטריון קושי להתכנסות במ"ש)" סדרת פונקציות $(f_n)$ על $E$ מתכנסת במידה שווה אם ורק אם: $\forall \varepsilon > 0 \; \exists N \; \forall m, n \ge N : \sup_{x \in E} |f_n(x) - f_m(x)| < \varepsilon$

הוכחה

כיוון ראשון ( $\Rightarrow$ ): נניח $f_n \rightrightarrows f$ על $E$ . אז: $\sup_E |f_n - f_m| \le \sup_E |f_n - f| + \sup_E |f_m - f|$

שני האיברים שואפים ל- $0$ , ולכן מתקיים תנאי קושי.

כיוון שני ( $\Leftarrow$ ): נניח שתנאי קושי מתקיים. לכל $x \in E$ , הסדרה $(f_n(x))$ היא סדרת קושי של מספרים ממשיים, ולכן מתכנסת לגבול שנסמנו $f(x)$ . כלומר, $f_n$ מתכנסת נקודתית ל- $f$ .

נותר להראות שההתכנסות במ"ש. מתנאי קושי, לכל $\varepsilon > 0$ קיים $N$ כך שלכל $m, n \ge N$ ולכל $x \in E$ : $f_n(x) - \varepsilon < f_m(x) < f_n(x) + \varepsilon$

נשאיף $m \to \infty$ ונקבל: $f_n(x) - \varepsilon \le f(x) \le f_n(x) + \varepsilon$

כלומר $\sup_E |f_n - f| \le \varepsilon$ לכל $n \ge N$ , ולכן $f_n \rightrightarrows f$ . $\blacksquare$

1.5 התכנסות במ"ש שומרת רציפות

משפט 1.4 (רציפות הגבול)

אם $f_n \in C(E)$ לכל $n$ ו- $f_n \rightrightarrows f$ על $E$ , אז $f \in C(E)$ .

הוכחה

יהי $x_0 \in E$ ויהי $\varepsilon > 0$ . צ"ל: קיים $\delta > 0$ כך שאם $|x - x_0| < \delta$ ו- $x \in E$ אז $|f(x) - f(x_0)| < 3\varepsilon$ .

נפרק באי-שוויון המשולש: $|f(x) - f(x_0)| \le |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - f_n(x_0)| + |f_n(x_0) - f(x_0)|$

שלב 1: מהתכנסות במ"ש, נבחר $n$ גדול מספיק כך ש- $\sup_E |f - f_n| < \varepsilon$ . זה הופך את האיבר הראשון והשלישי לקטנים מ- $\varepsilon$ כל אחד.

שלב 2: מרציפות $f_n$ , נבחר $\delta > 0$ כך שאם $|x - x_0| < \delta$ אז $|f_n(x) - f_n(x_0)| < \varepsilon$ .

סה"כ: $|f(x) - f(x_0)| < 3\varepsilon$ . $\blacksquare$

1.6 משפט דיני

משפט 1.5 (דיני)

תהי $(f_n) \subseteq C[a, b]$ סדרה מונוטונית יורדת (או עולה) של פונקציות רציפות, ותהי $f \in C[a, b]$ כך ש- $f_n \to f$ נקודתית. אז $f_n \rightrightarrows f$ על $[a, b]$ .

הוכחה

נוכיח עבור המקרה $f_n \downarrow f$ (המקרה העולה דומה). יהי $\varepsilon > 0$ .

לכל $x \in [a, b]$ , נבחר $n_x$ כך ש- $0 \le f_{n_x}(x) - f(x) < \varepsilon$ .

מרציפות $f_{n_x}$ ו- $f$ , קיימת סביבה פתוחה $U_x$ של $x$ כך שלכל $t \in U_x \cap [a, b]$ : $0 \le f_{n_x}(t) - f(t) < 2\varepsilon$

האיחוד $\bigcup_{x \in [a,b]} U_x$ מכסה את $[a, b]$ . לפי למת היינה-בורל, קיים כיסוי חלקי סופי: $[a, b] \subseteq U_{x_1} \cup U_{x_2} \cup \cdots \cup U_{x_N}$

נגדיר $n_\varepsilon = \max_{1 \le j \le N} n_{x_j}$ .

לכל $t \in [a, b]$ ולכל $n \ge n_\varepsilon$ , מכיוון שהסדרה יורדת: $0 \le f_n(t) - f(t) \le f_{n_{x_j}}(t) - f(t) < 2\varepsilon$

עבור $j$ מתאים. לכן $f_n \rightrightarrows f$ . $\blacksquare$

הערה

תנאי המשפט הכרחיים: נדרשת מונוטוניות של הסדרה, רציפות הגבול, ועבודה על קטע סגור וחסום.

1.7 התכנסות במ"ש שומרת אינטגרביליות

משפט 1.6 (שימור אינטגרביליות)

אם $(f_n) \subseteq R[a, b]$ (כל $f_n$ אינטגרבילית רימן) ו- $f_n \rightrightarrows f$ על $[a, b]$ , אז $f \in R[a, b]$ ומתקיים: $\int_a^b f_n \to \int_a^b f$

הוכחה

חלק א' - $f$ אינטגרבילית: יהי $\varepsilon > 0$ . נבחר $n$ כך ש- $\sup_{[a,b]} |f_n - f| < \varepsilon$ .

כיוון ש- $f_n$ אינטגרבילית, לפי משפט דארבו קיימת חלוקה $\Pi$ כך ש: $\sum_{i=0}^{k} \omega(f_n; \Delta_i)|\Delta_i| < \varepsilon$

כאשר $\omega$ מסמן את התנודה (oscillation).

לכל $i$ : $\omega(f; \Delta_i) \le \omega(f_n; \Delta_i) + 2\varepsilon$ . לכן: $\sum_{i=0}^{k} \omega(f; \Delta_i)|\Delta_i| < \sum_{i=0}^{k} \omega(f_n; \Delta_i)|\Delta_i| + 2\varepsilon(b - a) < \varepsilon + 2\varepsilon(b - a)$

לפי גרסה מחוזקת של משפט דארבו, $f \in R[a, b]$ .

חלק ב' - התכנסות האינטגרלים: $\left|\int_a^b f_n - \int_a^b f\right| \le \int_a^b |f_n - f| \le \sup_{[a,b]} |f_n - f| \cdot (b - a) \to 0$

$\blacksquare$

תרגילים

תרגיל 1

תהי $f_n(x) = \frac{nx}{1 + n^2 x^2}$ על $[0, 1]$ . הראו כי $f_n$ מתכנסת נקודתית ל- $0$ אך לא במ"ש.

פתרון

התכנסות נקודתית: עבור $x = 0$ : $f_n(0) = 0 \to 0$ .

עבור $x > 0$ : $f_n(x) = \frac{nx}{1 + n^2 x^2} = \frac{1}{n} \cdot \frac{n^2 x}{1 + n^2 x^2} \le \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{2} \to 0$

(כי $\frac{t}{1+t^2} \le \frac{1}{2}$ לכל $t \ge 0$ ). לכן $f_n \to 0$ נקודתית.

לא במ"ש: נחשב ב- $x_n = \frac{1}{n}$ : $f_n\left(\frac{1}{n}\right) = \frac{n \cdot \frac{1}{n}}{1 + n^2 \cdot \frac{1}{n^2}} = \frac{1}{2}$

לכן $\sup_{[0,1]} |f_n(x)| \ge \frac{1}{2} \not\to 0$ , ולכן ההתכנסות אינה במ"ש. $\blacksquare$

תרגיל 2

הוכיחו: אם $f_n \rightrightarrows f$ ו- $g_n \rightrightarrows g$ על $E$ , אז $\max\{f_n, g_n\} \rightrightarrows \max\{f, g\}$ על $E$ .

פתרון

נשתמש באי-השוויון $|\max\{a, b\} - \max\{c, d\}| \le \max\{|a - c|, |b - d|\}$ (לכל $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ ).

הוכחת אי-השוויון העזר: ב.ה.כ $\max\{a, b\} = a$ ו- $\max\{c, d\} = c$ . אז $a \ge b$ ו- $c \ge d$ . אם $a \ge c$ : $|a - c| = a - c \le |a - c|$ . אם $a < c$ : $|a - c| = c - a$ . כיוון ש- $a \ge b$ ו- $c \ge d$ אז $c - a \le c - b$ . לא בהכרח עוזר, אך $c - a \le |c - a| \le \max\{|a-c|, |b-d|\}$ .

חזרה להוכחה העיקרית: לכל $x \in E$ : $|\max\{f_n(x), g_n(x)\} - \max\{f(x), g(x)\}| \le \max\{|f_n(x) - f(x)|, |g_n(x) - g(x)|\}$

$\le |f_n(x) - f(x)| + |g_n(x) - g(x)|$

לכן: $\sup_E |\max\{f_n, g_n\} - \max\{f, g\}| \le \sup_E |f_n - f| + \sup_E |g_n - g| \to 0$

$\blacksquare$

תרגיל 3

תהי $(f_n) \subseteq C[0, 1]$ סדרה יורדת של פונקציות אי-שליליות כך ש- $f_n \to 0$ נקודתית. הוכיחו (ללא שימוש במשפט דיני) כי $\int_0^1 f_n \to 0$ .

פתרון

יהי $\varepsilon > 0$ . נסמן $M = \sup_{[0,1]} f_1$ (קיים כי $f_1$ רציפה על קטע סגור).

לכל $x \in [0, 1]$ , מההתכנסות הנקודתית קיים $n_x$ כך ש- $f_{n_x}(x) < \varepsilon$ .

מרציפות $f_{n_x}$ קיימת סביבה פתוחה $U_x$ של $x$ כך שלכל $t \in U_x \cap [0, 1]$ : $f_{n_x}(t) < 2\varepsilon$ .

הכיסוי $\{U_x\}_{x \in [0,1]}$ הוא כיסוי פתוח של $[0, 1]$ . לפי היינה-בורל, קיים כיסוי חלקי סופי $U_{x_1}, \ldots, U_{x_k}$ .

נגדיר $N = \max_j n_{x_j}$ . לכל $n \ge N$ ולכל $t \in [0, 1]$ :

קיים $j$ כך ש- $t \in U_{x_j}$ . כיוון שהסדרה יורדת ו- $n \ge N \ge n_{x_j}$ : $0 \le f_n(t) \le f_{n_{x_j}}(t) < 2\varepsilon$

לכן: $0 \le \int_0^1 f_n \le \int_0^1 2\varepsilon = 2\varepsilon$

כיוון ש- $\varepsilon$ שרירותי, $\int_0^1 f_n \to 0$ . $\blacksquare$