תרגילים — מספרים ממשיים

תרגילים: פרק 1 | חשבון אינפיניטסימלי 1 — HUJI

נושא 1: אקסיומות שדה

תרגיל 1: פעולה חדשה על $\mathbb{Z}$

הגדירו $m * n = m + n + mn$ על $\mathbb{Z}$.

(א) הוכיחו ש-$*$ אסוציאטיבית.

פתרון: $(k*l)*m = (k+l+kl)*m = k+l+kl+m+(k+l+kl)m = k+l+m+kl+km+lm+klm$. באופן דומה $k*(l*m) = k+l+m+lm+kl+km+klm$. שווים. ✓

(ב) הוכיחו ש-$*$ קומוטטיבית.

פתרון: $m*n = m+n+mn = (1+m)(1+n) - 1 = (1+n)(1+m) - 1 = n*m$. ✓

(ג) מצאו את האיבר הניטרלי של $*$.

פתרון: $m * e = m$ $\Leftrightarrow$ $m + e + me = m$ $\Leftrightarrow$ $e(1+m) = 0$ $\Leftrightarrow$ $e = 0$.

תרגיל 2: תכונות שדה

הוכיחו: בשדה $F$, אם $a \cdot b = 0$ אז $a = 0$ או $b = 0$.

פתרון: נניח $a \ne 0$. אז קיים $a^{-1}$. נכפול: $a^{-1}(ab) = a^{-1} \cdot 0 = 0$. מצד שני: $a^{-1}(ab) = (a^{-1}a)b = 1 \cdot b = b$. לכן $b = 0$. $\blacksquare$

נושא 2: סופרמום ואינפימום

תרגיל 3

מצאו $\sup$ ו-$\inf$ של $A = \left\{\frac{n}{n+1} : n \in \mathbb{N}\right\}$.

פתרון: $\frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}$. הסדרה עולה ממש (כי $\frac{1}{n+1}$ יורדת).

• $\inf(A) = \min(A) = \frac{1}{2}$ (ערך ב-$n=1$)
• $\sup(A) = 1$ (כי $\frac{n}{n+1} < 1$ לכל $n$, אבל $\to 1$). אין מקסימום.

תרגיל 4

$A, B \subset \mathbb{R}$ לא ריקות, $A$ חסומה מלעיל, $B$ חסומה מלרע.

הגדירו $A - B = \{a - b : a \in A, b \in B\}$.

הוכיחו: $\sup(A - B) = \sup A - \inf B$.

פתרון:

(1) $\sup A - \inf B$ חסם מלעיל: לכל $a \in A, b \in B$: $a - b \le \sup A - \inf B$.

(2) הקטן ביותר: לכל $\varepsilon > 0$ קיימים $a \in A$ עם $a > \sup A - \varepsilon/2$ ו-$b \in B$ עם $b < \inf B + \varepsilon/2$. אז $a - b > \sup A - \inf B - \varepsilon$. $\blacksquare$

נושא 3: אינדוקציה

תרגיל 5

הוכיחו: $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

בסיס ($n=1$): $1 = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1$. ✓

צעד: נניח נכון ל-$n$. אז:

$\sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 = \frac{(n+1)[n(2n+1) + 6(n+1)]}{6}$

$= \frac{(n+1)(2n^2 + 7n + 6)}{6} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$

$\blacksquare$

נושא 4: ערך מוחלט

תרגיל 6

פתרו: $|2x - 3| < 5$.

פתרון: $-5 < 2x - 3 < 5$ $\Rightarrow$ $-2 < 2x < 8$ $\Rightarrow$ $-1 < x < 4$.

תרגיל 7

הוכיחו: $|a^2 - b^2| \le (|a| + |b|)|a - b|$.

פתרון: $|a^2 - b^2| = |a-b| \cdot |a+b| \le |a-b| \cdot (|a| + |b|)$.

(מאי-שוויון המשולש: $|a+b| \le |a| + |b|$.) $\blacksquare$

נושא 5: צפיפות $\mathbb{Q}$ ב-$\mathbb{R}$

תרגיל 8

הוכיחו: בין כל שני ממשיים שונים קיים אי-רציונלי.

פתרון: יהיו $a < b$. מצפיפות $\mathbb{Q}$: קיים $r \in \mathbb{Q}$ עם $\frac{a}{\sqrt{2}} < r < \frac{b}{\sqrt{2}}$.

אם $r = 0$: ניקח $r' \in \mathbb{Q}$ אחר (קיים). אם $r \ne 0$: $x = r\sqrt{2}$ אי-רציונלי (כי $r \ne 0$ רציונלי כפול אי-רציונלי = אי-רציונלי).

ומתקיים $a < r\sqrt{2} < b$. $\blacksquare$

נושא 6: תכונת ארכימדס

תרגיל 9

הוכיחו: $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ (מההגדרה).

פתרון: יהי $\varepsilon > 0$. מתכונת ארכימדס: קיים $N \in \mathbb{N}$ עם $N > 1/\varepsilon$.

לכל $n > N$: $\left|\frac{1}{n} - 0\right| = \frac{1}{n} < \frac{1}{N} < \varepsilon$. $\blacksquare$