# תרגול 10 — גבולות חד-צדדיים ורציפות **תרגול 10** | חשבון אינפיניטסימלי 1 — HUJI --- ## גבולות חד-צדדיים ### הגדרה **גבול מימין** של $f$ ב-$x_0$: $$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\ x_0 < x < x_0 + \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon$$ **גבול משמאל**: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = L$ — אותו דבר עם $x_0 - \delta < x < x_0$. ### הקשר לגבול דו-צדדי > $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ **אם ורק אם** $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = L$. !!! tip "שימוש" אם הגבולות החד-צדדיים **שונים**, הגבול הדו-צדדי **לא קיים**. --- ## דוגמה: פונקציית הערך השלם $$\lfloor x \rfloor = \max\{n \in \mathbb{Z} : n \le x\}$$ ב-$x_0 = 1$: - $\lim_{x \to 1^-} \lfloor x \rfloor = 0$ (כי $x < 1$ ← $\lfloor x \rfloor = 0$) - $\lim_{x \to 1^+} \lfloor x \rfloor = 1$ (כי $1 < x < 2$ ← $\lfloor x \rfloor = 1$) הגבולות שונים $\Rightarrow$ $\lim_{x \to 1} \lfloor x \rfloor$ **לא קיים**. זו **אי-רציפות קפיצה**. --- ## רציפות ### הגדרה $f$ **רציפה** ב-$a$ אם: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. שקול ל: $$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\ |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(a)| < \varepsilon$$ !!! info "ההבדל מגבול" ברציפות: (1) $f(a)$ **מוגדר**, (2) הגבול **קיים**, (3) הגבול **שווה** ל-$f(a)$. --- ## סוגי אי-רציפות | סוג | תיאור | דוגמה | |-----|--------|-------| | **סליקה** (removable) | הגבול קיים אבל $\ne f(a)$ (או $f(a)$ לא מוגדר) | $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ ב-$0$ | | **קפיצה** (jump) | גבולות חד-צדדיים קיימים אבל שונים | $\lfloor x \rfloor$ ב-שלמים | | **מהותית** (essential) | גבול לא קיים | $\sin(1/x)$ ב-$0$ | --- ## דוגמה: רציפות פונקציה מוגדרת בחלקים $$f(x) = \begin{cases} x^2 & x \le 1 \\ 2x - 1 & x > 1 \end{cases}$$ **בדיקת רציפות ב-$x = 1$**: - $f(1) = 1^2 = 1$ - $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1$ - $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x-1) = 1$ שלושת הערכים שווים $\Rightarrow$ $f$ **רציפה** ב-$1$. ✓ --- ## הרכבת פונקציות רציפות **משפט**: אם $f$ רציפה ב-$a$ ו-$g$ רציפה ב-$f(a)$, אז $g \circ f$ רציפה ב-$a$. ### דוגמה $f(x) = x^2 + 1$ ו-$g(x) = \sqrt{x}$. שתיהן רציפות, לכן $\sqrt{x^2 + 1}$ רציפה בכל $\mathbb{R}$. !!! warning "פעולות ששומרות רציפות" סכום, הפרש, מכפלה של רציפות $\to$ רציפה. מנה $f/g$ — רציפה **כש-$g \ne 0$**.