הפולינום האופייני ודמיון מטריצות

הרצאה 3

הפולינום האופייני. ריבוי אלגברי. דמיון מטריצות.

הפולינום האופייני

הפולינום האופייני של מטריצה $A \in M_n(F)$ : $p_A(\lambda) = \det(A - \lambda I)$

זהו פולינום מדרגה $n$ ב- $\lambda$ .

תכונות הפולינום האופייני:

$p_A(\lambda) = (-1)^n \lambda^n + (-1)^{n-1} \text{tr}(A) \lambda^{n-1} + \cdots + \det(A)$
שורשי $p_A$ הם הערכים העצמיים של $A$
$\det(A) =$ מכפלת כל הערכים העצמיים
$\text{tr}(A) =$ סכום כל הערכים העצמיים

ריבוי אלגברי

ריבוי אלגברי: מספר הפעמים ש- $\lambda$ מופיע כשורש של הפולינום האופייני.

אם $p_A(\lambda) = (\lambda - \lambda_0)^k \cdot q(\lambda)$ כאשר $q(\lambda_0) \neq 0$ , אז $\text{am}(\lambda_0) = k$ .

משפט: לכל ערך עצמי $\lambda$ :

$1 \leq \text{gm}(\lambda) \leq \text{am}(\lambda)$

ספקטרום

ספקטרום של $A$ (מסומן $\sigma(A)$ ): קבוצת כל הערכים העצמיים של $A$ .

$\sigma(A) = \{ \lambda \in F : \det(A - \lambda I) = 0 \}$

תלוי בשדה

הספקטרום תלוי בשדה שמעליו עובדים. למשל, למטריצה $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ אין ע"ע מעל $\mathbb{R}$ , אבל מעל $\mathbb{C}$ הערכים העצמיים הם $\pm i$ .

דמיון מטריצות

הגדרה: שתי מטריצות $A, B \in M_n(F)$ נקראות דומות אם קיימת מטריצה הפיכה $P$ כך ש: $B = P^{-1}AP$

תכונות אינווריאנטיות לדמיון — אם $A$ ו- $B$ דומות אז:

תכונה	הסבר
$p_A = p_B$	אותו פולינום אופייני
$\sigma(A) = \sigma(B)$	אותם ערכים עצמיים
$\text{tr}(A) = \text{tr}(B)$	אותו עקבה
$\det(A) = \det(B)$	אותו דטרמיננט
$\text{rank}(A) = \text{rank}(B)$	אותה דרגה
$m_A = m_B$	אותו פולינום מינימלי

שימו לב

אותו פולינום אופייני לא מבטיח דמיון! למשל $I$ ו- $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ — לשתיהן $p(\lambda) = (\lambda-1)^2$ אבל הן לא דומות.

הפולינום האופייני

הפולינום האופייני של מטריצה $A \in M_n(F)$ : $p_A(\lambda) = \det(A - \lambda I)$

זהו פולינום מדרגה $n$ ב- $\lambda$ .

תכונות הפולינום האופייני:

$p_A(\lambda) = (-1)^n \lambda^n + (-1)^{n-1} \text{tr}(A) \lambda^{n-1} + \cdots + \det(A)$
שורשי $p_A$ הם הערכים העצמיים של $A$
$\det(A) =$ מכפלת כל הערכים העצמיים
$\text{tr}(A) =$ סכום כל הערכים העצמיים

ריבוי אלגברי

ריבוי אלגברי: מספר הפעמים ש- $\lambda$ מופיע כשורש של הפולינום האופייני.

אם $p_A(\lambda) = (\lambda - \lambda_0)^k \cdot q(\lambda)$ כאשר $q(\lambda_0) \neq 0$ , אז $\text{am}(\lambda_0) = k$ .

משפט: לכל ערך עצמי $\lambda$ :

$1 \leq \text{gm}(\lambda) \leq \text{am}(\lambda)$

ספקטרום

ספקטרום של $A$ (מסומן $\sigma(A)$ ): קבוצת כל הערכים העצמיים של $A$ .

$\sigma(A) = \{ \lambda \in F : \det(A - \lambda I) = 0 \}$

תלוי בשדה

דמיון מטריצות

הגדרה: שתי מטריצות $A, B \in M_n(F)$ נקראות דומות אם קיימת מטריצה הפיכה $P$ כך ש: $B = P^{-1}AP$

תכונות אינווריאנטיות לדמיון — אם $A$ ו- $B$ דומות אז:

תכונה	הסבר
$p_A = p_B$	אותו פולינום אופייני
$\sigma(A) = \sigma(B)$	אותם ערכים עצמיים
$\text{tr}(A) = \text{tr}(B)$	אותו עקבה
$\det(A) = \det(B)$	אותו דטרמיננט
$\text{rank}(A) = \text{rank}(B)$	אותה דרגה
$m_A = m_B$	אותו פולינום מינימלי

שימו לב