הפולינום האופייני ודמיון מטריצות
הרצאה 3
הפולינום האופייני. ריבוי אלגברי. דמיון מטריצות.
הפולינום האופייני
הפולינום האופייני של מטריצה A ∈ M n ( F ) A \in M_n(F) A ∈ M n ( F ) p A ( λ ) = det ( A − λ I ) p_A(\lambda) = \det(A - \lambda I) p A ( λ ) = det ( A − λ I )
זהו פולינום מדרגה n n n λ \lambda λ
תכונות הפולינום האופייני:
p A ( λ ) = ( − 1 ) n λ n + ( − 1 ) n − 1 tr ( A ) λ n − 1 + ⋯ + det ( A ) p_A(\lambda) = (-1)^n \lambda^n + (-1)^{n-1} \text{tr}(A) \lambda^{n-1} + \cdots + \det(A) p A ( λ ) = ( − 1 ) n λ n + ( − 1 ) n − 1 tr ( A ) λ n − 1 + ⋯ + det ( A ) שורשי p A p_A p A A A A
det ( A ) = \det(A) = det ( A ) = tr ( A ) = \text{tr}(A) = tr ( A ) =
ריבוי אלגברי
ריבוי אלגברי: מספר הפעמים ש-λ \lambda λ
אם p A ( λ ) = ( λ − λ 0 ) k ⋅ q ( λ ) p_A(\lambda) = (\lambda - \lambda_0)^k \cdot q(\lambda) p A ( λ ) = ( λ − λ 0 ) k ⋅ q ( λ ) q ( λ 0 ) ≠ 0 q(\lambda_0) \neq 0 q ( λ 0 ) = 0 am ( λ 0 ) = k \text{am}(\lambda_0) = k am ( λ 0 ) = k
משפט: לכל ערך עצמי λ \lambda λ
1 ≤ gm ( λ ) ≤ am ( λ ) 1 \leq \text{gm}(\lambda) \leq \text{am}(\lambda) 1 ≤ gm ( λ ) ≤ am ( λ )
ספקטרום
ספקטרום של A A A σ ( A ) \sigma(A) σ ( A ) A A A
σ ( A ) = { λ ∈ F : det ( A − λ I ) = 0 } \sigma(A) = \{ \lambda \in F : \det(A - \lambda I) = 0 \} σ ( A ) = { λ ∈ F : det ( A − λ I ) = 0 }
תלוי בשדה
הספקטרום תלוי בשדה שמעליו עובדים. למשל, למטריצה ( 0 − 1 1 0 ) \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} ( 0 1 − 1 0 ) R \mathbb{R} R C \mathbb{C} C ± i \pm i ± i
דמיון מטריצות
הגדרה: שתי מטריצות A , B ∈ M n ( F ) A, B \in M_n(F) A , B ∈ M n ( F ) דומות אם קיימת מטריצה הפיכה P P P B = P − 1 A P B = P^{-1}AP B = P − 1 A P
תכונות אינווריאנטיות לדמיון — אם A A A B B B
תכונה הסבר p A = p B p_A = p_B p A = p B אותו פולינום אופייני σ ( A ) = σ ( B ) \sigma(A) = \sigma(B) σ ( A ) = σ ( B ) אותם ערכים עצמיים tr ( A ) = tr ( B ) \text{tr}(A) = \text{tr}(B) tr ( A ) = tr ( B ) אותו עקבה det ( A ) = det ( B ) \det(A) = \det(B) det ( A ) = det ( B ) אותו דטרמיננט rank ( A ) = rank ( B ) \text{rank}(A) = \text{rank}(B) rank ( A ) = rank ( B ) אותה דרגה m A = m B m_A = m_B m A = m B אותו פולינום מינימלי
שימו לב
אותו פולינום אופייני לא מבטיח דמיון! למשל I I I ( 1 1 0 1 ) \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ( 1 0 1 1 ) p ( λ ) = ( λ − 1 ) 2 p(\lambda) = (\lambda-1)^2 p ( λ ) = ( λ − 1 ) 2
דוגמאות פתורות (מהתרגול)
מבנה הפולינום האופייני — נוסחאות וייטה
משפט (עבור n = 2 n = 2 n = 2 עבור A = ( a b c d ) A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} A = ( a c b d ) p A ( x ) = x 2 − tr ( A ) ⋅ x + det ( A ) p_A(x) = x^2 - \text{tr}(A) \cdot x + \det(A) p A ( x ) = x 2 − tr ( A ) ⋅ x + det ( A )
הוכחה: det ( a − x b c d − x ) = ( a − x ) ( d − x ) − b c = x 2 − ( a + d ) x + ( a d − b c ) \det\begin{pmatrix} a-x & b \\ c & d-x \end{pmatrix} = (a-x)(d-x) - bc = x^2 - (a+d)x + (ad-bc) det ( a − x c b d − x ) = ( a − x ) ( d − x ) − b c = x 2 − ( a + d ) x + ( a d − b c ) ■ \blacksquare ■
מסקנה: אם λ 1 , λ 2 \lambda_1, \lambda_2 λ 1 , λ 2 A ∈ M 2 ( F ) A \in M_2(F) A ∈ M 2 ( F ) tr ( A ) = λ 1 + λ 2 , det ( A ) = λ 1 λ 2 \text{tr}(A) = \lambda_1 + \lambda_2, \qquad \det(A) = \lambda_1 \lambda_2 tr ( A ) = λ 1 + λ 2 , det ( A ) = λ 1 λ 2
משפט כללי: אם p A ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + … + a 0 p_A(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_0 p A ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + … + a 0 a n = ( − 1 ) n a_n = (-1)^n a n = ( − 1 ) n a n − 1 = ( − 1 ) n − 1 tr ( A ) a_{n-1} = (-1)^{n-1} \text{tr}(A) a n − 1 = ( − 1 ) n − 1 tr ( A ) a 0 = det ( A ) a_0 = \det(A) a 0 = det ( A )
מסקנה (וייטה): אם p A ( x ) = ( x − λ 1 ) ⋯ ( x − λ n ) p_A(x) = (x - \lambda_1)\cdots(x - \lambda_n) p A ( x ) = ( x − λ 1 ) ⋯ ( x − λ n ) tr ( A ) = ∑ λ i \text{tr}(A) = \sum \lambda_i tr ( A ) = ∑ λ i det ( A ) = ( − 1 ) n ∏ λ i \det(A) = (-1)^n \prod \lambda_i det ( A ) = ( − 1 ) n ∏ λ i
דוגמה — Rank וטריאל. A ∈ M 2 × 2 ( R ) A \in M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) A ∈ M 2 × 2 ( R ) rank ( A ) = 1 \text{rank}(A) = 1 rank ( A ) = 1 tr ( A ) = 3 \text{tr}(A) = 3 tr ( A ) = 3
פתרון: rank = 1 < 2 \text{rank} = 1 < 2 rank = 1 < 2 ker ( A ) ≠ { 0 } \ker(A) \neq \{0\} ker ( A ) = { 0 } 0 0 0 λ 1 + λ 2 = 3 \lambda_1 + \lambda_2 = 3 λ 1 + λ 2 = 3 λ 1 = 0 \lambda_1 = 0 λ 1 = 0 λ 2 = 3 \lambda_2 = 3 λ 2 = 3
זהות p A 2 ( x 2 ) = p A ( x ) p A ( − x ) p_{A^2}(x^2) = p_A(x) p_A(-x) p A 2 ( x 2 ) = p A ( x ) p A ( − x )
טענה: לכל A ∈ M n ( F ) A \in M_n(F) A ∈ M n ( F ) x x x p A 2 ( x 2 ) = p A ( x ) ⋅ p A ( − x ) p_{A^2}(x^2) = p_A(x) \cdot p_A(-x) p A 2 ( x 2 ) = p A ( x ) ⋅ p A ( − x )
הוכחה: A 2 − x 2 I = ( A − x I ) ( A + x I ) A^2 - x^2 I = (A - xI)(A + xI) A 2 − x 2 I = ( A − x I ) ( A + x I ) det ( A 2 − x 2 I ) = det ( A − x I ) det ( A + x I ) = p A ( x ) ⋅ p A ( − x ) \det(A^2 - x^2 I) = \det(A - xI) \det(A + xI) = p_A(x) \cdot p_A(-x) det ( A 2 − x 2 I ) = det ( A − x I ) det ( A + x I ) = p A ( x ) ⋅ p A ( − x )
■ \blacksquare ■
שימוש
אם λ 2 \lambda^2 λ 2 A 2 A^2 A 2 λ \lambda λ − λ -\lambda − λ A A A A A A A 2 A^2 A 2
חישוב ריבוי — דוגמאות
דוגמה 1 — Rank-1 מטריצה 5 × 5 5\times 5 5 × 5 תהי A ∈ M 5 ( R ) A \in M_5(\mathbb{R}) A ∈ M 5 ( R ) rank ( A ) = 1 \text{rank}(A) = 1 rank ( A ) = 1 2 2 2 A A A am ( 2 ) \text{am}(2) am ( 2 ) gm ( 2 ) \text{gm}(2) gm ( 2 )
פתרון:
rank = 1 \text{rank} = 1 rank = 1 dim ker ( A ) = 4 \dim \ker(A) = 4 dim ker ( A ) = 4 gm ( 0 ) = 4 \text{gm}(0) = 4 gm ( 0 ) = 4 am ( 0 ) ≥ 4 \text{am}(0) \geq 4 am ( 0 ) ≥ 4 ∑ λ am ( λ ) ≤ n = 5 \sum_\lambda \text{am}(\lambda) \leq n = 5 ∑ λ am ( λ ) ≤ n = 5 am ( 0 ) ≥ 4 \text{am}(0) \geq 4 am ( 0 ) ≥ 4 am ( 2 ) ≥ 1 \text{am}(2) \geq 1 am ( 2 ) ≥ 1 am ( 0 ) = 4 \text{am}(0) = 4 am ( 0 ) = 4 am ( 2 ) = 1 \text{am}(2) = 1 am ( 2 ) = 1 1 ≤ gm ( 2 ) ≤ am ( 2 ) = 1 1 \leq \text{gm}(2) \leq \text{am}(2) = 1 1 ≤ gm ( 2 ) ≤ am ( 2 ) = 1 gm ( 2 ) = 1 \text{gm}(2) = 1 gm ( 2 ) = 1
דוגמה 2 — בנייה עם ריבוי נתון. יהיו k ≤ s ≤ n k \leq s \leq n k ≤ s ≤ n A ∈ M n ( R ) A \in M_n(\mathbb{R}) A ∈ M n ( R ) am A ( 2 ) = k \text{am}_A(2) = k am A ( 2 ) = k am A 2 ( 4 ) = s \text{am}_{A^2}(4) = s am A 2 ( 4 ) = s
פתרון:
A = diag ( 2 , … , 2 ⏟ k , − 2 , … , − 2 ⏟ s − k , 0 , … , 0 ⏟ n − s ) A = \text{diag}(\underbrace{2, \ldots, 2}_{k}, \underbrace{-2, \ldots, -2}_{s - k}, \underbrace{0, \ldots, 0}_{n - s}) A = diag ( k 2 , … , 2 , s − k − 2 , … , − 2 , n − s 0 , … , 0 )
p A ( x ) = ( x − 2 ) k ( x + 2 ) s − k x n − s p_A(x) = (x-2)^k (x+2)^{s-k} x^{n-s} p A ( x ) = ( x − 2 ) k ( x + 2 ) s − k x n − s am A ( 2 ) = k \text{am}_A(2) = k am A ( 2 ) = k A 2 = diag ( 4 , … , 4 , 0 , … , 0 ) A^2 = \text{diag}(4, \ldots, 4, 0, \ldots, 0) A 2 = diag ( 4 , … , 4 , 0 , … , 0 ) s s s 4 4 4 am A 2 ( 4 ) = s \text{am}_{A^2}(4) = s am A 2 ( 4 ) = s
התובנה
שני ע"ע שונים של A A A 2 2 2 − 2 -2 − 2 A 2 A^2 A 2 4 4 4 4 4 4 A 2 A^2 A 2 A A A
משפט: יהי F F F ≠ 2 \neq 2 = 2 0 ≠ λ ∈ F 0 \neq \lambda \in F 0 = λ ∈ F am A 2 ( λ 2 ) = am A ( λ ) + am A ( − λ ) \text{am}_{A^2}(\lambda^2) = \text{am}_A(\lambda) + \text{am}_A(-\lambda) am A 2 ( λ 2 ) = am A ( λ ) + am A ( − λ )
רעיון ההוכחה: מהזהות p A 2 ( x 2 ) = p A ( x ) p A ( − x ) p_{A^2}(x^2) = p_A(x) p_A(-x) p A 2 ( x 2 ) = p A ( x ) p A ( − x ) λ \lambda λ am A 2 ( λ 2 ) \text{am}_{A^2}(\lambda^2) am A 2 ( λ 2 ) am A ( λ ) + am A ( − λ ) \text{am}_A(\lambda) + \text{am}_A(-\lambda) am A ( λ ) + am A ( − λ ) תרגיל בית 3 שאלה 3.)
דמיון נשמר תחת פולינומים
טענה: אם A ∼ B A \sim B A ∼ B P P P P − 1 A P = B P^{-1} A P = B P − 1 A P = B q ∈ F [ x ] q \in F[x] q ∈ F [ x ] q ( A ) ∼ q ( B ) q(A) \sim q(B) q ( A ) ∼ q ( B ) P P P
הוכחה (סקיצה): P − 1 A k P = B k P^{-1} A^k P = B^k P − 1 A k P = B k k k k P − 1 , P P^{-1}, P P − 1 , P P − 1 q ( A ) P = P − 1 ( a n A n + … + a 0 I ) P = a n B n + … + a 0 I = q ( B ) P^{-1} q(A) P = P^{-1}(a_n A^n + \ldots + a_0 I) P = a_n B^n + \ldots + a_0 I = q(B) P − 1 q ( A ) P = P − 1 ( a n A n + … + a 0 I ) P = a n B n + … + a 0 I = q ( B )
■ \blacksquare ■
מסקנות חזקות
A ∼ B A \sim B A ∼ B A k ∼ B k A^k \sim B^k A k ∼ B k k k k A A A q ( A ) q(A) q ( A ) כל פעולה פולינומיאלית על מטריצה משמרת דמיון