שדות

שדה הוא שלשה $(F, +, \cdot)$ כאשר $F$ קבוצה לא ריקה ו-$+, \cdot$ פעולות בינאריות המקיימות:

אקסיומות החיבור:

1. אסוציאטיביות: $(a + b) + c = a + (b + c)$
2. קומוטטיביות: $a + b = b + a$
3. איבר נייטרלי (אפס): קיים $0 \in F$ כך ש-$a + 0 = a$
4. איבר נגדי: לכל $a$ קיים $-a$ כך ש-$a + (-a) = 0$

אקסיומות הכפל:

5. אסוציאטיביות: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
6. קומוטטיביות: $a \cdot b = b \cdot a$
7. איבר יחידה: קיים $1 \in F$, $1 \neq 0$ כך ש-$a \cdot 1 = a$
8. איבר הופכי: לכל $a \neq 0$ קיים $a^{-1}$ כך ש-$a \cdot a^{-1} = 1$

קשר בין הפעולות:

9. פילוג: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

עבור $p$ ראשוני, $\mathbb{Z}_p$ הוא שדה עם $p$ איברים: $\{0, 1, 2, \ldots, p-1\}$ עם פעולות מודולו $p$.

עבור $d$ שאינו ריבוע של מספר רציונלי: $\mathbb{Q}(\sqrt{d}) = \{a + b\sqrt{d} \mid a, b \in \mathbb{Q}\}$