מספרים מרוכבים

מה נלמד בפרק זה?

המספרים המרוכבים מרחיבים את הממשיים ומאפשרים לפתור משוואות כמו $x^2 + 1 = 0$ . נלמד על פעולות חשבון, הצגות שונות ושורשים מרוכבים.

הגדרת המספרים המרוכבים

הגדרה

המספרים המרוכבים הם הקבוצה: $\mathbb{C} = \{a + bi \mid a, b \in \mathbb{R}\}$

כאשר $i$ מקיים $i^2 = -1$ .

$a = \text{Re}(z)$ נקרא החלק הממשי
$b = \text{Im}(z)$ נקרא החלק המדומה

פעולות חשבון

חיבור וחיסור

$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$ $(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$

כפל

$(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$

חילוק

$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}$

דוגמה

חשבו $\displaystyle\frac{3 + 2i}{1 - i}$ :

$\frac{3 + 2i}{1 - i} = \frac{(3 + 2i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{3 + 3i + 2i + 2i^2}{1 - i^2} = \frac{3 + 5i - 2}{1 + 1} = \frac{1 + 5i}{2}$

הצמוד והערך המוחלט

הצמוד

הגדרה

הצמוד של $z = a + bi$ הוא $\bar{z} = a - bi$

תכונות הצמוד:

תכונה	נוסחה
צמוד של סכום	$\overline{z + w} = \bar{z} + \bar{w}$
צמוד של מכפלה	$\overline{z \cdot w} = \bar{z} \cdot \bar{w}$
צמוד של מנה	$\overline{z / w} = \bar{z} / \bar{w}$
צמוד של צמוד	$\overline{\bar{z}} = z$
מספר ממשי	$z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow z = \bar{z}$
מספר מדומה טהור	$z$ מדומה טהור $\Leftrightarrow z = -\bar{z}$

נוסחאות שימושיות:

$\text{Re}(z) = \frac{z + \bar{z}}{2}, \quad \text{Im}(z) = \frac{z - \bar{z}}{2i}$

הערך המוחלט (מודולוס)

הגדרה

הערך המוחלט של $z = a + bi$ הוא: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z \cdot \bar{z}}$

תכונות הערך המוחלט:

תכונה	נוסחה
אי-שליליות	$
מכפלה	$
מנה	$
אי-שוויון המשולש	$
קשר לצמוד	$z \cdot \bar{z} =

הצגה במישור גאוס

כל מספר מרוכב $z = a + bi$ מיוצג כנקודה $(a, b)$ במישור:

ציר $x$ - הציר הממשי
ציר $y$ - הציר המדומה

הצגה פולרית (טריגונומטרית)

הגדרה

כל מספר מרוכב $z \neq 0$ ניתן לכתוב בצורה: $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = r \cdot \text{cis}(\theta)$

כאשר:

$r = |z|$ הוא המודולוס
$\theta = \arg(z)$ הוא הארגומנט (הזווית עם ציר $x$ החיובי)

המרה בין הצגות

מקרטזית לפולרית:

$r = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$

שימו לב לרביע!

יש להתאים את $\theta$ לרביע שבו נמצא $z$

מפולרית לקרטזית:

$a = r\cos\theta, \quad b = r\sin\theta$

כפל וחילוק בצורה פולרית

משפט: כפל וחילוק

אם $z_1 = r_1 \text{cis}(\theta_1)$ ו- $z_2 = r_2 \text{cis}(\theta_2)$ :

כפל: $z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 \cdot \text{cis}(\theta_1 + \theta_2)$

חילוק: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \cdot \text{cis}(\theta_1 - \theta_2)$

נוסחת דה-מואבר

משפט: דה-מואבר

לכל $n \in \mathbb{Z}$ : $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$

או בקיצור: $[\text{cis}(\theta)]^n = \text{cis}(n\theta)$

דוגמה

חשבו $(1 + i)^{10}$ :

נמיר לצורה פולרית: $1 + i = \sqrt{2} \cdot \text{cis}(45°)$
נשתמש בדה-מואבר: $(1 + i)^{10} = (\sqrt{2})^{10} \cdot \text{cis}(450°) = 32 \cdot \text{cis}(90°) = 32i$

שורשים מרוכבים

משפט: שורשים מסדר

n

למספר מרוכב $z = r \cdot \text{cis}(\theta)$ יש בדיוק $n$ שורשים מסדר $n$ :

$w_k = \sqrt[n]{r} \cdot \text{cis}\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right), \quad k = 0, 1, \ldots, n-1$

תכונות השורשים:

$n$ השורשים מפוזרים באופן שווה על מעגל ברדיוס $\sqrt[n]{r}$
הזווית בין שורשים סמוכים היא $\displaystyle\frac{2\pi}{n}$

דוגמה: שורשים של

1

שורשים שלישיים של 1 ( $z^3 = 1$ ):

$w_0 = \text{cis}(0°) = 1$ $w_1 = \text{cis}(120°) = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ $w_2 = \text{cis}(240°) = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

שורשים של מספרים שליליים

דוגמה

מצאו את $\sqrt{-4}$ :

$\sqrt{-4} = \sqrt{4 \cdot (-1)} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{-1} = 2i$

שורשים ריבועיים של $-4$ :

$-4 = 4 \cdot \text{cis}(180°)$ , לכן:

$w_0 = 2 \cdot \text{cis}(90°) = 2i$ $w_1 = 2 \cdot \text{cis}(270°) = -2i$

טיפים לפתרון

בחילוק - תמיד הכפילו במצומד של המכנה
בחזקות גבוהות - עברו להצגה פולרית והשתמשו בדה-מואבר
בשורשים - זכרו שיש $n$ שורשים מסדר $n$ , והם מפוזרים באופן שווה על מעגל
בזיהוי ארגומנט - שימו לב לרביע! $\arctan$ נותן תשובה בין $-90°$ ל- $90°$ בלבד
זהות שימושית: $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ (נוסחת אוילר)

מספרים מרוכבים

מה נלמד בפרק זה?

הגדרת המספרים המרוכבים

הגדרה

המספרים המרוכבים הם הקבוצה: $\mathbb{C} = \{a + bi \mid a, b \in \mathbb{R}\}$

כאשר $i$ מקיים $i^2 = -1$ .

$a = \text{Re}(z)$ נקרא החלק הממשי
$b = \text{Im}(z)$ נקרא החלק המדומה

פעולות חשבון

חיבור וחיסור

$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$ $(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$

כפל

$(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$

חילוק

$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}$

דוגמה

חשבו $\displaystyle\frac{3 + 2i}{1 - i}$ :

$\frac{3 + 2i}{1 - i} = \frac{(3 + 2i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{3 + 3i + 2i + 2i^2}{1 - i^2} = \frac{3 + 5i - 2}{1 + 1} = \frac{1 + 5i}{2}$

הצמוד והערך המוחלט

הצמוד

הגדרה

הצמוד של $z = a + bi$ הוא $\bar{z} = a - bi$

תכונות הצמוד:

תכונה	נוסחה
צמוד של סכום	$\overline{z + w} = \bar{z} + \bar{w}$
צמוד של מכפלה	$\overline{z \cdot w} = \bar{z} \cdot \bar{w}$
צמוד של מנה	$\overline{z / w} = \bar{z} / \bar{w}$
צמוד של צמוד	$\overline{\bar{z}} = z$
מספר ממשי	$z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow z = \bar{z}$
מספר מדומה טהור	$z$ מדומה טהור $\Leftrightarrow z = -\bar{z}$

נוסחאות שימושיות:

$\text{Re}(z) = \frac{z + \bar{z}}{2}, \quad \text{Im}(z) = \frac{z - \bar{z}}{2i}$

הערך המוחלט (מודולוס)

הגדרה

הערך המוחלט של $z = a + bi$ הוא: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z \cdot \bar{z}}$

תכונות הערך המוחלט:

תכונה	נוסחה
אי-שליליות	$
מכפלה	$
מנה	$
אי-שוויון המשולש	$
קשר לצמוד	$z \cdot \bar{z} =

הצגה במישור גאוס

כל מספר מרוכב $z = a + bi$ מיוצג כנקודה $(a, b)$ במישור:

ציר $x$ - הציר הממשי
ציר $y$ - הציר המדומה

הצגה פולרית (טריגונומטרית)

הגדרה

כל מספר מרוכב $z \neq 0$ ניתן לכתוב בצורה: $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = r \cdot \text{cis}(\theta)$

כאשר:

$r = |z|$ הוא המודולוס
$\theta = \arg(z)$ הוא הארגומנט (הזווית עם ציר $x$ החיובי)

המרה בין הצגות

מקרטזית לפולרית:

$r = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$

שימו לב לרביע!

יש להתאים את $\theta$ לרביע שבו נמצא $z$

מפולרית לקרטזית:

$a = r\cos\theta, \quad b = r\sin\theta$

כפל וחילוק בצורה פולרית

משפט: כפל וחילוק

אם $z_1 = r_1 \text{cis}(\theta_1)$ ו- $z_2 = r_2 \text{cis}(\theta_2)$ :

כפל: $z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 \cdot \text{cis}(\theta_1 + \theta_2)$

חילוק: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \cdot \text{cis}(\theta_1 - \theta_2)$

נוסחת דה-מואבר

משפט: דה-מואבר

לכל $n \in \mathbb{Z}$ : $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$

או בקיצור: $[\text{cis}(\theta)]^n = \text{cis}(n\theta)$

דוגמה

חשבו $(1 + i)^{10}$ :

נמיר לצורה פולרית: $1 + i = \sqrt{2} \cdot \text{cis}(45°)$
נשתמש בדה-מואבר: $(1 + i)^{10} = (\sqrt{2})^{10} \cdot \text{cis}(450°) = 32 \cdot \text{cis}(90°) = 32i$

שורשים מרוכבים

משפט: שורשים מסדר

n

למספר מרוכב $z = r \cdot \text{cis}(\theta)$ יש בדיוק $n$ שורשים מסדר $n$ :

$w_k = \sqrt[n]{r} \cdot \text{cis}\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right), \quad k = 0, 1, \ldots, n-1$

תכונות השורשים:

$n$ השורשים מפוזרים באופן שווה על מעגל ברדיוס $\sqrt[n]{r}$
הזווית בין שורשים סמוכים היא $\displaystyle\frac{2\pi}{n}$

דוגמה: שורשים של

1

שורשים שלישיים של 1 ( $z^3 = 1$ ):

$w_0 = \text{cis}(0°) = 1$ $w_1 = \text{cis}(120°) = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ $w_2 = \text{cis}(240°) = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

שורשים של מספרים שליליים

דוגמה

מצאו את $\sqrt{-4}$ :

$\sqrt{-4} = \sqrt{4 \cdot (-1)} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{-1} = 2i$

שורשים ריבועיים של $-4$ :

$-4 = 4 \cdot \text{cis}(180°)$ , לכן:

$w_0 = 2 \cdot \text{cis}(90°) = 2i$ $w_1 = 2 \cdot \text{cis}(270°) = -2i$

טיפים לפתרון

בחילוק - תמיד הכפילו במצומד של המכנה
בחזקות גבוהות - עברו להצגה פולרית והשתמשו בדה-מואבר
בשורשים - זכרו שיש $n$ שורשים מסדר $n$ , והם מפוזרים באופן שווה על מעגל
בזיהוי ארגומנט - שימו לב לרביע! $\arctan$ נותן תשובה בין $-90°$ ל- $90°$ בלבד
זהות שימושית: $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ (נוסחת אוילר)