יחידה 2: שיטות ספירה בסיסיות (המשך)

א. ישנן $n$ דרכים לבחור את המספר הראשון ו-$n-1$ דרכים לבחור את השני. ולכן:

$n(n-1)$

ב. כל בחירה של זוג מספרים $i, j \in [n]$ מתכתבת עם שתי בחירות מהסעיף הקודם: או שבחרנו את $i$ ואז את $j$, או להפך. לכן מספר הדרכים לבחור זוג לא סדור:

$\frac{n(n-1)}{2}$

פתרון נוסף לסעיף ב':

נסמן ב-$a$ את מספר הדרכים כאשר יש חשיבות לסדר, וב-$b$ כאשר אין חשיבות.

• מצד אחד: $a = n(n-1)$
• מצד שני: בונים בשלבים — קודם בוחרים 2 מספרים ללא סדר ($b$ אפשרויות), ואז בוחרים סדר (2 אפשרויות). מעיקרון הכפל: $a = b \cdot 2$

נחלק ונקבל: $b = \frac{n(n-1)}{2}$

פתרון נכון — נפריד לשני מקרים זרים:

מקרה 1: אות אחת מופיעה 4 פעמים, ושאר האותיות מופיעות פעמיים.

$\binom{4}{1} \cdot \frac{10!}{4! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2!}$

מקרה 2: שתי אותיות מופיעות 3 פעמים והשתיים הנותרות מופיעות פעמיים.

$\binom{4}{2} \cdot \frac{10!}{3! \cdot 3! \cdot 2! \cdot 2!}$

סה"כ:

$\binom{4}{1} \cdot \frac{10!}{4! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2!} + \binom{4}{2} \cdot \frac{10!}{3! \cdot 3! \cdot 2! \cdot 2!}$