תרגול 1 — פולינומים מעל שדה

אלגברה לינארית 2 — HUJI

פולינומים: הגדרות בסיסיות

$\mathbb{F}[T]$ = מרחב הפולינומים מעל שדה $\mathbb{F}$.

$P(T) = a_n T^n + a_{n-1} T^{n-1} + \cdots + a_1 T + a_0$

• מעלה $\deg P = n$ (המקדם $a_n \neq 0$)
• מקדם מוביל: $a_n$
• פולינום מתוקן: $a_n = 1$
• איבר חופשי: $a_0$

חלוקה עם שארית

משפט: לכל $F(T), G(T) \in \mathbb{F}[T]$ עם $G \neq 0$, קיימים יחידים $Q, R$ כך ש:

$F(T) = Q(T) \cdot G(T) + R(T), \quad \deg R < \deg G$

דוגמה

$F(T) = 3T^3 + 7T^2 - 7T + 1$, $G(T) = T^2 + 4T + 3$ ב-$\mathbb{R}[T]$.

חלוקה ארוכה:

• $Q(T) = 3T - 5$
• $R(T) = 4T + 16$

בדיקה: $(3T-5)(T^2+4T+3) + (4T+16) = 3T^3 + 7T^2 - 7T + 1$ ✓

חלוקות ושורשים

• $G \mid F$ ($G$ מחלק $F$) $\iff$ $R = 0$ בחלוקה עם שארית
• $\lambda$ שורש של $P$ $\iff$ $P(\lambda) = 0$ $\iff$ $(T - \lambda) \mid P$

הצבת סקלר

$P(T) \in \mathbb{F}[T]$ מגדיר פונקציה פולינומיאלית $P: \mathbb{F} \to \mathbb{F}$ ע"י הצבה.

הצבת אופרטור בפולינום

אם $P(T) = a_0 + a_1 T + \cdots + a_n T^n$ ו-$f: V \to V$ אופרטור, אז:

$P(f) = a_0 I + a_1 f + a_2 f^2 + \cdots + a_n f^n$

זהו אופרטור $P(f): V \to V$.

תכונות

• $(P + Q)(f) = P(f) + Q(f)$
• $(PQ)(f) = P(f) \circ Q(f)$
• $P(f)$ ו-$Q(f)$ תמיד מתחלפים: $P(f) \circ Q(f) = Q(f) \circ P(f)$

סיכום