מרחבי מכפלה פנימית

אלגברה לינארית 2 — HUJI

מכפלה פנימית (Inner Product)

בהינתן מרחב וקטורי $V$ מעל $\mathbb{F}$ ($\mathbb{R}$ או $\mathbb{C}$), מכפלה פנימית היא פונקציה $\langle \cdot, \cdot \rangle: V \times V \to \mathbb{F}$ שמקיימת:

1. לינאריות ברכיב הראשון: $\langle \alpha u + \beta v, w \rangle = \alpha \langle u, w \rangle + \beta \langle v, w \rangle$
2. הרמיטיות: $\langle u, v \rangle = \overline{\langle v, u \rangle}$ (צמוד מרוכב)
3. חיוביות: $\langle v, v \rangle \ge 0$ ו-$\langle v, v \rangle = 0 \iff v = 0$

נורמה (Norm)

$\|v\| = \sqrt{\langle v, v \rangle}$

תכונות

• $\|v\| \ge 0$, ו-$\|v\| = 0 \iff v = 0$
• $\|\alpha v\| = |\alpha| \cdot \|v\|$
• אי-שוויון המשולש: $\|u + v\| \le \|u\| + \|v\|$

אי-שוויון קושי-שוורץ (Cauchy-Schwarz)

$|\langle u, v \rangle| \le \|u\| \cdot \|v\|$

שוויון מתקיים אמ"מ $u, v$ תלויים לינארית.

ניצבות (Orthogonality)

$u \perp v$ אמ"מ $\langle u, v \rangle = 0$.

קבוצה אורתונורמלית

$\{e_1, \ldots, e_n\}$ אורתונורמלית (ON) אם: $\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & i = j \\ 0 & i \ne j \end{cases}$

בסיס אורתונורמלי

בסיס ON = גם בסיס וגם אורתונורמלי. כל מרחב מכפלה פנימית סוף-ממדי מכיל בסיס ON.

תהליך גרם-שמידט (Gram-Schmidt)

אלגוריתם להפיכת בסיס כלשהו $\{v_1, \ldots, v_n\}$ לבסיס ON $\{e_1, \ldots, e_n\}$:

$w_k = v_k - \sum_{j=1}^{k-1} \langle v_k, e_j \rangle e_j, \quad e_k = \frac{w_k}{\|w_k\|}$

המשלים הניצב (Orthogonal Complement)

$W^\perp = \{v \in V \mid \langle v, w \rangle = 0\ \forall w \in W\}$

תכונות

• $V = W \oplus W^\perp$ (סכום ישר)
• $\dim W + \dim W^\perp = \dim V$
• $(W^\perp)^\perp = W$
• ההטלה על $W$: $\text{proj}_W(v) = \sum_i \langle v, e_i \rangle e_i$ (כש-$\{e_i\}$ בסיס ON של $W$)