תרגול 1 — המספרים המרוכבים
אלגברה לינארית 1, תשפ"ב — 11 באוקטובר 2021
1.1 תזכורת
נסמן על ידי R \mathbb{R} R C \mathbb{C} C המספרים המרוכבים , כלומר מספרים מהצורה a + b i a + bi a + bi a , b ∈ R a, b \in \mathbb{R} a , b ∈ R
( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i ( a + bi ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i
( a + b i ) ⋅ ( c + d i ) = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i (a + bi) \cdot (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i ( a + bi ) ⋅ ( c + d i ) = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i
בפרט, i 2 = − 1 i^2 = -1 i 2 = − 1
1.2 צמוד ונורמה
הגדרה
מספרים מרוכבים נהוג לסמן באות z z z z = x + y i z = x + yi z = x + y i x , y ∈ R x, y \in \mathbb{R} x , y ∈ R
1. חלק ממשי וחלק מדומה:
x x x החלק הממשי (real) של z z z y y y החלק המדומה (imaginary) של z z z
Re ( z ) = x Im ( z ) = y \text{Re}(z) = x \qquad \text{Im}(z) = y Re ( z ) = x Im ( z ) = y
שימו לב
החלק המדומה הוא מספר ממשי !
למשל: Re ( 1 + 2 i ) = 1 \text{Re}(1 + 2i) = 1 Re ( 1 + 2 i ) = 1 Im ( 1 + 2 i ) = 2 \text{Im}(1 + 2i) = 2 Im ( 1 + 2 i ) = 2
ניתן להתאים לכל מספר מרוכב z = x + y i z = x + yi z = x + y i ( x , y ) ∈ R 2 (x, y) \in \mathbb{R}^2 ( x , y ) ∈ R 2
2. ערך מוחלט (נורמה):
הערך המוחלט (absolute value) או הנורמה (norm) של z z z ∣ z ∣ |z| ∣ z ∣
∣ z ∣ = x 2 + y 2 |z| = \sqrt{x^2 + y^2} ∣ z ∣ = x 2 + y 2
תמיד מתקיים x 2 + y 2 ≥ 0 x^2 + y^2 \geq 0 x 2 + y 2 ≥ 0
למשל: ∣ 1 + 2 i ∣ = 1 2 + 2 2 = 5 |1 + 2i| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} ∣1 + 2 i ∣ = 1 2 + 2 2 = 5
הערך המוחלט מציין את המרחק מראשית הצירים.
3. הצמוד המרוכב:
הצמוד המרוכב (complex conjugate) של z = x + y i z = x + yi z = x + y i z ˉ \bar{z} z ˉ
z ˉ = x − y i \bar{z} = x - yi z ˉ = x − y i
למשל: 1 + 2 i ‾ = 1 − 2 i \overline{1 + 2i} = 1 - 2i 1 + 2 i = 1 − 2 i
פעולת ההצמדה היא בעצם שיקוף כנגד ציר ה-x x x ∣ z ∣ = ∣ z ˉ ∣ |z| = |\bar{z}| ∣ z ∣ = ∣ z ˉ ∣ z ˉ ˉ = z \bar{\bar{z}} = z z ˉ ˉ = z
טענות על נורמה וצמוד
טענה
לכל z ∈ C z \in \mathbb{C} z ∈ C z ⋅ z ˉ = ∣ z ∣ 2 z \cdot \bar{z} = |z|^2 z ⋅ z ˉ = ∣ z ∣ 2
הוכחה: נרשום z = x + y i z = x + yi z = x + y i x , y ∈ R x, y \in \mathbb{R} x , y ∈ R
z ⋅ z ˉ = ( x + y i ) ( x − y i ) = x 2 + y 2 = ∣ z ∣ 2 z \cdot \bar{z} = (x + yi)(x - yi) = x^2 + y^2 = |z|^2 z ⋅ z ˉ = ( x + y i ) ( x − y i ) = x 2 + y 2 = ∣ z ∣ 2
נשים לב שההצמדה שומרת על חיבור, כלומר לכל z , w ∈ C z, w \in \mathbb{C} z , w ∈ C z + w ‾ = z ˉ + w ˉ \overline{z + w} = \bar{z} + \bar{w} z + w = z ˉ + w ˉ
טענה
לכל z , w ∈ C z, w \in \mathbb{C} z , w ∈ C z ⋅ w ‾ = z ˉ ⋅ w ˉ \overline{z \cdot w} = \bar{z} \cdot \bar{w} z ⋅ w = z ˉ ⋅ w ˉ
הוכחה: נרשום z = a + b i z = a + bi z = a + bi w = c + d i w = c + di w = c + d i a , b , c , d ∈ R a, b, c, d \in \mathbb{R} a , b , c , d ∈ R
z ˉ ⋅ w ˉ = ( a − b i ) ( c − d i ) = ( a c − b d ) − ( a d + b c ) i = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i ‾ = z ⋅ w ‾ \bar{z} \cdot \bar{w} = (a - bi)(c - di) = (ac - bd) - (ad + bc)i = \overline{(ac - bd) + (ad + bc)i} = \overline{z \cdot w} z ˉ ⋅ w ˉ = ( a − bi ) ( c − d i ) = ( a c − b d ) − ( a d + b c ) i = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i = z ⋅ w
טענה
לכל z , w ∈ C z, w \in \mathbb{C} z , w ∈ C ∣ z ⋅ w ∣ = ∣ z ∣ ⋅ ∣ w ∣ |z \cdot w| = |z| \cdot |w| ∣ z ⋅ w ∣ = ∣ z ∣ ⋅ ∣ w ∣
הוכחה: נשתמש בשתי הטענות הקודמות ונקבל שמתקיים:
∣ z ⋅ w ∣ 2 = z ⋅ w ⋅ z ⋅ w ‾ = z ⋅ w ⋅ z ˉ ⋅ w ˉ = z ⋅ z ˉ ⋅ w ⋅ w ˉ = ∣ z ∣ 2 ⋅ ∣ w ∣ 2 |z \cdot w|^2 = z \cdot w \cdot \overline{z \cdot w} = z \cdot w \cdot \bar{z} \cdot \bar{w} = z \cdot \bar{z} \cdot w \cdot \bar{w} = |z|^2 \cdot |w|^2 ∣ z ⋅ w ∣ 2 = z ⋅ w ⋅ z ⋅ w = z ⋅ w ⋅ z ˉ ⋅ w ˉ = z ⋅ z ˉ ⋅ w ⋅ w ˉ = ∣ z ∣ 2 ⋅ ∣ w ∣ 2
כעת נוציא שורש (נשים לב שמדובר במספרים ממשיים וחיוביים) ונקבל ∣ z ⋅ w ∣ = ∣ z ∣ ⋅ ∣ w ∣ |z \cdot w| = |z| \cdot |w| ∣ z ⋅ w ∣ = ∣ z ∣ ⋅ ∣ w ∣
מסקנה: אם z , w ≠ 0 z, w \neq 0 z , w = 0 z ⋅ w ≠ 0 z \cdot w \neq 0 z ⋅ w = 0
1.3 חישוב הפכי
אם z ≠ 0 z \neq 0 z = 0 x ≠ 0 x \neq 0 x = 0 y ≠ 0 y \neq 0 y = 0 ∣ z ∣ 2 = x 2 + y 2 ≠ 0 |z|^2 = x^2 + y^2 \neq 0 ∣ z ∣ 2 = x 2 + y 2 = 0 1 ∣ z ∣ 2 \frac{1}{|z|^2} ∣ z ∣ 2 1
z ⋅ z ˉ ∣ z ∣ 2 = ∣ z ∣ 2 ∣ z ∣ 2 = 1 \frac{z \cdot \bar{z}}{|z|^2} = \frac{|z|^2}{|z|^2} = 1 ∣ z ∣ 2 z ⋅ z ˉ = ∣ z ∣ 2 ∣ z ∣ 2 = 1
או, במילים אחרות, הראינו שלכל איבר z ≠ 0 z \neq 0 z = 0 הפכי כפלי וגם מצאנו נוסחא מפורשת עבורו:
z − 1 = z ˉ ∣ z ∣ 2 z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} z − 1 = ∣ z ∣ 2 z ˉ
בקואורדינטות:
( x + y i ) − 1 = x x 2 + y 2 − y x 2 + y 2 i (x + yi)^{-1} = \frac{x}{x^2 + y^2} - \frac{y}{x^2 + y^2}i ( x + y i ) − 1 = x 2 + y 2 x − x 2 + y 2 y i
דוגמאות
1. ( 7 + 3 i ) − 1 = 7 − 3 i 7 2 + 3 2 = 7 58 − 3 58 i (7 + 3i)^{-1} = \frac{7 - 3i}{7^2 + 3^2} = \frac{7}{58} - \frac{3}{58}i ( 7 + 3 i ) − 1 = 7 2 + 3 2 7 − 3 i = 58 7 − 58 3 i
2. 2 + 5 i 3 − 8 i = ( 3 − 8 i ) − 1 ⋅ ( 2 + 5 i ) = ( 3 + 8 i ) 3 2 + 8 2 ⋅ ( 2 + 5 i ) = ( 3 + 8 i ) ( 2 + 5 i ) 73 = − 34 + 31 i 73 = − 34 73 + 31 73 i \frac{2 + 5i}{3 - 8i} = (3 - 8i)^{-1} \cdot (2 + 5i) = \frac{(3 + 8i)}{3^2 + 8^2} \cdot (2 + 5i) = \frac{(3 + 8i)(2 + 5i)}{73} = \frac{-34 + 31i}{73} = -\frac{34}{73} + \frac{31}{73}i 3 − 8 i 2 + 5 i = ( 3 − 8 i ) − 1 ⋅ ( 2 + 5 i ) = 3 2 + 8 2 ( 3 + 8 i ) ⋅ ( 2 + 5 i ) = 73 ( 3 + 8 i ) ( 2 + 5 i ) = 73 − 34 + 31 i = − 73 34 + 73 31 i
2. המישור המרוכב וההצגה הפולארית
2.1 הצגה פולארית
הערה
בחלק זה נשתמש בפונקציות טריגונומטריות ובתכונות שלהן כמו שאתם מכירים מהתיכון מבלי להגדירן או להוכיחן. הגדרות והוכחות פורמליות ניתן למצוא בקורס אינפי.
כל מספר מרוכב אפשר לזהות עם נקודה במישור דו-מימדי, כאשר את x + y i x + yi x + y i ( x , y ) (x, y) ( x , y ) ההצגה הקרטזית .
במישור זה הציר האופקי יקרא הציר הממשי והציר האנכי יקרא הציר המדומה .
הצגה פולארית
נתאר כל נקודה ע"י הזוג ( r , θ ) (r, \theta) ( r , θ )
r r r r ≥ 0 r \geq 0 r ≥ 0 θ \theta θ
המעבר מקואורדינטות פולאריות לקרטזיות:
( r , θ ) ↦ ( r cos θ , r sin θ ) (r, \theta) \mapsto (r\cos\theta,\, r\sin\theta) ( r , θ ) ↦ ( r cos θ , r sin θ )
כל מספר מרוכב z z z z = r ( cos θ + i sin θ ) z = r(\cos\theta + i\sin\theta) z = r ( cos θ + i sin θ ) r ≥ 0 r \geq 0 r ≥ 0 θ ∈ R \theta \in \mathbb{R} θ ∈ R
על מנת לפשט את הכתיבה, מכניסים את הקיצור:
cis ( θ ) : = cos θ + i sin θ \text{cis}(\theta) := \cos\theta + i\sin\theta cis ( θ ) := cos θ + i sin θ
ורושמים z = r cis θ z = r\,\text{cis}\,\theta z = r cis θ
דוגמאות
דוגמה 1: מה הוא הייצוג הפולארי של z = − 4 + 4 i z = -4 + 4i z = − 4 + 4 i
הרדיוס: r = ( − 4 ) 2 + 4 2 = 32 = 4 2 r = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} r = ( − 4 ) 2 + 4 2 = 32 = 4 2
הזווית: θ = arctan ( − 1 ) + π = 3 π 4 \theta = \arctan(-1) + \pi = \frac{3\pi}{4} θ = arctan ( − 1 ) + π = 4 3 π
סה"כ: z = 4 2 cis 3 π 4 z = 4\sqrt{2}\,\text{cis}\frac{3\pi}{4} z = 4 2 cis 4 3 π
דוגמה 2: מה הוא הייצוג הפולארי של z = − 3 + 4 i z = -3 + 4i z = − 3 + 4 i
הרדיוס: r = ( − 3 ) 2 + 4 2 = 5 r = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5 r = ( − 3 ) 2 + 4 2 = 5
הזווית: θ = arctan ( − 4 3 ) + π \theta = \arctan\left(-\frac{4}{3}\right) + \pi θ = arctan ( − 3 4 ) + π
סה"כ: z = 5 cis ( arctan ( − 4 3 ) + π ) z = 5\,\text{cis}\left(\arctan\left(-\frac{4}{3}\right) + \pi\right) z = 5 cis ( arctan ( − 3 4 ) + π )
נוסחת דה-מואבר
טענה
יהיו z 1 , z 2 z_1, z_2 z 1 , z 2 ( r 1 , θ 1 ) (r_1, \theta_1) ( r 1 , θ 1 ) ( r 2 , θ 2 ) (r_2, \theta_2) ( r 2 , θ 2 ) z = z 1 ⋅ z 2 z = z_1 \cdot z_2 z = z 1 ⋅ z 2 ( r 1 r 2 , θ 1 + θ 2 ) (r_1 r_2,\, \theta_1 + \theta_2) ( r 1 r 2 , θ 1 + θ 2 )
תזכורת — נוסחאות סכום זוויות:
sin ( α + β ) = cos α sin β + cos β sin α \sin(\alpha + \beta) = \cos\alpha\sin\beta + \cos\beta\sin\alpha sin ( α + β ) = cos α sin β + cos β sin α
cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β
הוכחה: נסמן z 1 = r 1 cis θ 1 z_1 = r_1\,\text{cis}\,\theta_1 z 1 = r 1 cis θ 1 z 2 = r 2 cis θ 2 z_2 = r_2\,\text{cis}\,\theta_2 z 2 = r 2 cis θ 2
z 1 ⋅ z 2 = r 1 r 2 ( cos θ 1 cos θ 2 − sin θ 1 sin θ 2 ) + r 1 r 2 ( cos θ 1 sin θ 2 + sin θ 1 cos θ 2 ) i z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2(\cos\theta_1\cos\theta_2 - \sin\theta_1\sin\theta_2) + r_1 r_2(\cos\theta_1\sin\theta_2 + \sin\theta_1\cos\theta_2)i z 1 ⋅ z 2 = r 1 r 2 ( cos θ 1 cos θ 2 − sin θ 1 sin θ 2 ) + r 1 r 2 ( cos θ 1 sin θ 2 + sin θ 1 cos θ 2 ) i
= r 1 r 2 cos ( θ 1 + θ 2 ) + r 1 r 2 sin ( θ 1 + θ 2 ) i = r 1 r 2 cis ( θ 1 + θ 2 ) = r_1 r_2\cos(\theta_1 + \theta_2) + r_1 r_2\sin(\theta_1 + \theta_2)i = r_1 r_2\,\text{cis}(\theta_1 + \theta_2) = r 1 r 2 cos ( θ 1 + θ 2 ) + r 1 r 2 sin ( θ 1 + θ 2 ) i = r 1 r 2 cis ( θ 1 + θ 2 )
כנדרש. ■ \blacksquare ■
כלומר, מבחינה גיאומטרית, מכפלה של מספרים מרוכבים מתאימה למכפלת הערכים המוחלטים וסכום הזוויות .
נוסחת דה-מואבר
( r cos θ + r i sin θ ) n = r n cos ( n θ ) + r n i sin ( n θ ) (r\cos\theta + ri\sin\theta)^n = r^n\cos(n\theta) + r^n i\sin(n\theta) ( r cos θ + r i sin θ ) n = r n cos ( n θ ) + r n i sin ( n θ )
דוגמה: כתבו את המספר המרוכב ( 2 + 2 i ) 5 (\sqrt{2} + \sqrt{2}i)^5 ( 2 + 2 i ) 5
פתרון: נסמן ב-( r , θ ) (r, \theta) ( r , θ ) 2 + 2 i \sqrt{2} + \sqrt{2}i 2 + 2 i
r = ( 2 ) 2 + ( 2 ) 2 = 2 r = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = 2 r = ( 2 ) 2 + ( 2 ) 2 = 2
θ = arctan ( 2 2 ) = π 4 \theta = \arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\pi}{4} θ = arctan ( 2 2 ) = 4 π
לכן לפי נוסחת דה-מואבר:
( 2 + 2 i ) 5 = 2 5 cos ( 5 π 4 ) + 2 5 sin ( 5 π 4 ) i = 32 ⋅ ( − 2 2 ) + 32 ⋅ ( − 2 2 ) i (\sqrt{2} + \sqrt{2}i)^5 = 2^5\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) + 2^5\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)i = 32 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 32 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)i ( 2 + 2 i ) 5 = 2 5 cos ( 4 5 π ) + 2 5 sin ( 4 5 π ) i = 32 ⋅ ( − 2 2 ) + 32 ⋅ ( − 2 2 ) i
פתרון משוואות עם משתנה מרוכב
דוגמה: מצאו את כל הפתרונות המרוכבים למשוואה:
z 3 + ( 1 − i ) z 2 − i z = 0 z^3 + (1 - i)z^2 - iz = 0 z 3 + ( 1 − i ) z 2 − i z = 0
פתרון:
z ( z − i ) ( z + 1 ) = z ( z 2 + ( 1 − i ) z − i ) = z 3 + ( 1 − i ) z 2 − i z z(z - i)(z + 1) = z\left(z^2 + (1 - i)z - i\right) = z^3 + (1 - i)z^2 - iz z ( z − i ) ( z + 1 ) = z ( z 2 + ( 1 − i ) z − i ) = z 3 + ( 1 − i ) z 2 − i z
מהמסקנה שראינו בתחילת התרגול, z 3 + ( 1 − i ) z 2 − i z = 0 z^3 + (1 - i)z^2 - iz = 0 z 3 + ( 1 − i ) z 2 − i z = 0 z z z ( z − i ) (z - i) ( z − i ) ( z + 1 ) (z + 1) ( z + 1 ) 0 0 0 z = 0 , − 1 , i z = 0, -1, i z = 0 , − 1 , i