שפת הקבוצות

1.1 קבוצות, שייכות ותחביר (סינטקס)

קבוצה היא אוסף של אובייקטים. אנו נקרא לאובייקטים הללו איברי הקבוצה.

לדוגמה, קבוצת המספרים השלמים מ-$0$ עד $9$: זוהי קבוצה שאיבריה הם אפס, אחד, שתיים, שלוש, ארבע, חמש, שש, שבע, שמונה ותשע.

יש כמה דרכים לתאר קבוצה בכתב:

• רשימת איברים מופרדת ע"י פסיקים ותחומה ע"י סוגריים מסולסלים: $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

כשנרצה להתייחס לקבוצה יותר מפעם אחת, נוכל לתת לה שם, לדוגמה $X = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. עכשיו, כל פעם שנכתוב $X$, למעשה מתייחסים ל-$\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

• רשימה עם שלוש נקודות: $X = \{0, 1, 2, \ldots, 9\}$. בעת השימוש הזה בשלוש נקודות אנחנו מסתמכים על האינטליגנציה של הקורא שימלא את החסר בצורה הגיונית. לכן למעשה זוהי לא הגדרה של קבוצה אלא רק תיאור מרושל, אם כי נפוץ ושימושי.

• תכונה אופיינית: $X = \{a \mid a \text{ ספרה עשרונית}\}$. בניגוד לפסיקים, כאן יש הבדל בין מה שכתוב משמאל ומימין לקו המפריד $|$. משמעות הקו האנכי הוא "כך ש-" והקריאה היא משמאל לימין. משמאל לקו יופיע אובייקט שמייצג איבר כלשהו בקבוצה $X$, בעוד שמצד ימין תופיע התכונה (או רשימת תכונות) שתבדיל בין איברי הקבוצה לאובייקטים אחרים.

שתי קבוצות כלשהן $U$ ו-$V$ יוגדרו כשוות אם יש להן בדיוק את אותם האיברים, כלומר אם כל איבר של $U$ הוא איבר של $V$ וכל איבר של $V$ הוא איבר של $U$.

בפרט סדר הופעת האיברים ברשימה לא משנה את הקבוצה, ואיבר שמופיע ברשימה עם חזרות, דינו כאיבר שמופיע פעם אחת. לדוגמה, תהי $Y = \{2, 2, 3, 5, 4, 0, 0, 1, 6, 7, 0, 9, 8, 9\}$. אזי $X = Y$.

כדי לכתוב שאובייקט $b$ כלשהו שייך לקבוצה $U$, נכתוב כך: $b \in U$. לדוגמה, במקרה שלנו, $7 \in X$. כדי לכתוב שאובייקט $c$ לא שייך לקבוצה $U$, נכתוב כך: $c \notin U$. לדוגמה, $-3 \notin X$.

קבוצות חשובות

ישנן מספר קבוצות חשובות, בקורס הזה ובמתמטיקה בכלל, עם שמות וסמלים שמורים להן:

• $\emptyset$ — הקבוצה הריקה. קבוצה זו לא מכילה אף איבר.
• $\mathbb{N}$ — קבוצת המספרים הטבעיים $\{1, 2, 3, 4, \ldots\}$.
• $\mathbb{Z}$ — קבוצת המספרים השלמים $\{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$.
• $\mathbb{Q}$ — קבוצת המספרים הרציונליים $\left\{\frac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z},\, n \in \mathbb{N}\right\}$.
• $\mathbb{R}$ — קבוצת המספרים הממשיים. זוהי הקבוצה המרכזית שלנו.

1.2 דיאגרמת ון

ניתן לתאר קבוצה ויזואלית ע"י ציור עקום פשוט וסגור ("תפוח אדמה"). הפנים של $A$ מייצג את האיברים של $A$ והחוץ הוא כל מה שאיננו ב-$A$.

1.3 הכלה

בין קבוצות יתכן גם יחס הכלה.

לדוגמה, אם $U = \{0, 1\}$, אז כל איבר השייך ל-$U$ שייך גם ל-$X$ המוגדר לעיל. אזי נאמר ש-$U$ מוכלת ב-$X$ וכן ש-$X$ מכילה את $U$ ונרשום $U \subseteq X$.

דוגמאות נוספות: $\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R}$

1.4 איחוד, חיתוך וחיסור קבוצות

בהינתן שתי קבוצות $W$ ו-$V$:

דוגמה: ניקח $V = \{2, 3, 4, 5\}$, $W = \{0, 1, 2, 3\}$. אזי $W \cap V = \{2, 3\}$, לעומת זאת $\{1, 2\} \cap \{3, 4\} = \emptyset$.

$W \cup V = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$.

שימו לב שפעולת החיתוך היא סימטרית, כלומר $W \cap V = V \cap W$. כנ"ל, פעולת האיחוד היא סימטרית: $W \cup V = V \cup W$.

לדוגמה, $W \setminus V = \{0, 1\}$. פעולה זו אינה סימטרית!

חשוב להקפיד על סוגריים כשרושמים סדרה של איחודים וחיתוכים, שכן סדר הפעולות משנה את התוצאה:

$(\{1, 2\} \cap \{3, 4\}) \cup \{5, 6\} = \{5, 6\}$

אבל:

$\{1, 2\} \cap (\{3, 4\} \cup \{5, 6\}) = \emptyset$

1.5 מכפלה קרטזית של קבוצות

יהיו $A$ ו-$B$ שתי קבוצות.

דוגמה 1: $A = \{1, 2\}$, $B = \{a, b, c\}$. אזי:

$A \times B = \{(1, a),\, (1, b),\, (1, c),\, (2, a),\, (2, b),\, (2, c)\}$

דוגמה 2: $A = \{1, 2\}$ ו-$B = \emptyset$. אזי $A \times B = \emptyset$.

מאחר שלפי ההגדרה, $A \times B$ מורכבת מקבוצת הזוגות הסדורים $(a, b)$, כך ש-$a \in \{1, 2\}$ ו-$b \in \emptyset$. מאחר ש-$\emptyset$ היא הקבוצה הריקה, אין $b$ כך ש-$b \in \emptyset$ ולכן אין זוגות $(a, b)$ כנ"ל, כלומר קבוצת המכפלה $A \times B$ ריקה מאיברים ולכן שווה לקבוצה הריקה.

1.6 הוכחת שיוויון של קבוצות

יהיו $A$ ו-$B$ שתי קבוצות. כדי להוכיח את הטענה $A = B$, עלינו להראות שבשני האגפים ישנה אותה קבוצה, כלומר ישנם את אותם האיברים.

בדרך כלל הדרך הנוחה להראות זאת היא בעזרת שיטת הוכחה הנקראת הכלה דו-כיוונית, כלומר מראים ש-$A \subseteq B$ ו-$B \subseteq A$.

ההוכחה לרוב תהיה מחולקת לשני חלקים, כאשר בכל חלק מראים הכלה בכיוון אחר.

2. משתנים ואינדקסים

אנו משתמשים במשתנים על מנת לבצע חישובים באופן כללי יותר.

לדוגמה: $0$ מעלות צלזיוס הן $32$ מעלות פרנהייט. $20$ מעלות צלזיוס הן $68$ מעלות פרנהייט.

הנוסחה $F = \frac{9}{5}C + 32$ מתארת את הטמפרטורה במעלות פרנהייט ($F$) כאשר הטמפרטורה במעלות צלזיוס ($C$) היא המשתנה.

בנוסף, נוסחה זו מאפשרת לנו לענות על שאלות כגון: האם קיימת טמפרטורה שערכה לפי צלזיוס ולפי פרנהייט זהה? (כן, $F = C$ אם ורק אם $F = -40$).

אינדקסים

אם יש לנו עשרה תלמידים בכיתה, שציוניהם הם $a, b, c, \ldots, j$, נוכל לחשב את הממוצע ע"י הנוסחה $\frac{a + b + c + \cdots + j}{10}$.

מה קורה כאשר יש בכיתה $35$ תלמידים? אין מספיק אותיות בשפה האנגלית על מנת לתאר את הציונים של כולם.

במקרה זה נשתמש באינדקסים: $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{35}$.

שימו לב שתפקידו של הכתב התחתון הוא להזכיר לנו איזה משתנה שייך לאיזה תלמיד, ואין לו כל השפעה על הציון עצמו. חשוב לא להתבלבל בין המספר הסידורי של הקופסה לתכולתה.

כעת נוכל לכתוב את נוסחת הממוצע כך: $\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_{35}}{35}$.