# תרגול 9 — סדרות קושי וגבולות פונקציות **תרגול 9** | חשבון אינפיניטסימלי 1 — HUJI --- ## סדרות קושי ### תזכורת $(a_n)$ סדרת **קושי** אם: $$\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall m,n > N:\ |a_n - a_m| < \varepsilon$$ **משפט**: סדרה מתכנסת $\Leftrightarrow$ סדרת קושי. --- ## דוגמה מפורטת **טענה**: הסדרה $a_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{b_k}}{1+3^k}$ מתכנסת, לכל סדרה $(b_k)$ של טבעיים. **הוכחה**: לכל $m > n$: $$|a_m - a_n| = \left|\sum_{k=n+1}^{m} \frac{(-1)^{b_k}}{1+3^k}\right| \le \sum_{k=n+1}^{m} \frac{1}{1+3^k} \le \sum_{k=n+1}^{m} \frac{1}{3^k}$$ זהו טור הנדסי: $$\sum_{k=n+1}^{m} \frac{1}{3^k} < \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{3^k} = \frac{1/3^{n+1}}{1 - 1/3} = \frac{1}{2 \cdot 3^n}$$ לכל $\varepsilon > 0$ נבחר $N$ כך ש-$\frac{1}{2 \cdot 3^N} < \varepsilon$. לכל $m > n > N$: $|a_m - a_n| < \varepsilon$. $\blacksquare$ !!! tip "מקרה פרטי" אם $b_k$ זוגי לכל $k$, מקבלים $a_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+3^k}$. ואם $b_k = k$: $a_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^k}{1+3^k}$. --- ## גבול של פונקציה בנקודה — הגדרה ### הגדרת אפסילון-דלתא $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ אם: $$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x:\ 0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon$$ ### אפיון היינה (Heine) $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ **אם ורק אם** לכל סדרה $x_n \to x_0$ (עם $x_n \ne x_0$) מתקיים $f(x_n) \to L$. --- ## דוגמה: הוכחת גבול מההגדרה **הוכיחו**: $\lim_{x \to 2} (3x + 1) = 7$. יהי $\varepsilon > 0$. נבחר $\delta = \varepsilon/3$. לכל $x$ המקיים $0 < |x - 2| < \delta$: $$|f(x) - 7| = |3x + 1 - 7| = |3x - 6| = 3|x - 2| < 3\delta = 3 \cdot \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon$$ $\blacksquare$ --- ## דוגמה: הפרכת קיום גבול (באמצעות היינה) **הראו**: $\lim_{x \to 0} \sin(1/x)$ **לא קיים**. **הוכחה**: ניקח שתי סדרות ש-$\to 0$: - $x_n = \frac{1}{2\pi n} \to 0$ ← $\sin(1/x_n) = \sin(2\pi n) = 0$ - $y_n = \frac{1}{\pi/2 + 2\pi n} \to 0$ ← $\sin(1/y_n) = \sin(\pi/2 + 2\pi n) = 1$ שתי תת-סדרות עם גבולות שונים ($0 \ne 1$) $\Rightarrow$ הגבול לא קיים. $\blacksquare$ !!! info "כוחו של היינה" היינה מאפשר **להשתמש בכל מה שידוע על סדרות** — לחישוב גבולות של פונקציות!