# תרגול 8 — תת-סדרות ובולצנו-ויירשטראס **תרגול 8** | חשבון אינפיניטסימלי 1 — HUJI --- ## הגדרה: תת-סדרה **תת-סדרה** של $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ היא סדרה $(a_{n_k})_{k=1}^{\infty}$ כש-$n_1 < n_2 < n_3 < \cdots$ סדרה **עולה ממש** של מספרים טבעיים. ### דוגמאות | סדרה $(a_n) = ((-1)^n)$ | תת-סדרה | ערכים | |--------------------------|----------|-------| | $n_k = 2k$ | $(a_{2k})$ | $1, 1, 1, \ldots$ | | $n_k = 2k-1$ | $(a_{2k-1})$ | $-1, -1, -1, \ldots$ | --- ## תכונות בסיסיות **משפט**: אם $a_n \to \alpha$ (במובן הצר או הרחב), אז גם **כל תת-סדרה** $a_{n_k} \to \alpha$. !!! warning "ההפך לא נכון!" $(-1)^n$ — כל תת-סדרה של **הזוגיים** מתכנסת ל-$1$, אבל הסדרה עצמה **לא מתכנסת**. **שימוש להפרכה**: אם שתי תת-סדרות שואפות לגבולות **שונים**, הסדרה **מתבדרת**. --- ## משפט בולצנו-ויירשטראס > **לכל סדרה חסומה קיימת תת-סדרה מתכנסת.** ### רעיון ההוכחה (בשיטת חציון — קנטור) 1. הסדרה חסומה, אז כל איבריה ב-$[a_1, b_1]$. 2. חוצים ל-$[a_1, c]$ ו-$[c, b_1]$. לפחות אחד מהם מכיל **אינסוף** איברים — בוחרים אותו כ-$[a_2, b_2]$. 3. חוזרים — מקבלים סדרת קטעים $[a_n, b_n]$ מקוננים עם אורך $\to 0$. 4. מ**קנטור** — יש נקודה יחידה $c$ בחיתוך. בונים תת-סדרה ש-$\to c$. --- ## דוגמאות ### דוגמה 1: סדרה שאינה חסומה עם תת-סדרה מתכנסת $$a_n = \begin{cases} n/2 & n \text{ זוגי} \\ 0 & n \text{ אי-זוגי} \end{cases}$$ הסדרה **לא חסומה** (הזוגיים שואפים ל-$\infty$). אבל תת-הסדרה $(a_{2k-1}) = (0, 0, 0, \ldots) \to 0$. ✓ !!! info "מסקנה" חסימות היא תנאי **מספיק** אבל **לא הכרחי** לקיום תת-סדרה מתכנסת. ### דוגמה 2: תת-סדרה ששואפת לסופרמום **טענה**: אם $(a_n)$ חסומה ו-$s = \sup\{a_n\}$ **לא** מתקבל כאיבר בסדרה, אז קיימת תת-סדרה $a_{n_k} \to s$. **הוכחה (בניה אינדוקטיבית)**: - $k=1$: מאיפיון הסופרמום עם $\varepsilon = 1$, קיים $n_1$ כך ש-$s - 1 < a_{n_1} < s$. - **צעד**: בהינתן $n_k$, נבחר $\varepsilon = \min\left(\frac{1}{k+1}, s - a_{n_k}\right) > 0$. קיים $n_{k+1} > n_k$ כך ש-$s - \varepsilon < a_{n_{k+1}} < s$. - מ**הסנדוויץ'**: $a_{n_k} \to s$. $\blacksquare$ --- ## שימוש: הוכחת התבדרות **טענה**: $a_n = \sin(n)$ **לא מתכנסת**. **רעיון**: מספיק למצוא שתי תת-סדרות עם גבולות שונים. (מכיוון ש-$\sin$ מחזורית ו-$\pi$ אי-רציונלי, ערכי $\sin(n)$ "מתפזרים" בצורה צפופה ב-$[-1,1]$.) --- ## למה של קנטור (Cantor's Lemma) ### תזכורת > אם $(I_n) = ([a_n, b_n])$ סדרת קטעים **סגורים** מקוננים עם $b_n - a_n \to 0$, אז קיימת **נקודה יחידה** $c$ ב-$\bigcap_{n=1}^{\infty} I_n$. ### הקשר ל-B-W הוכחת בולצנו-ויירשטראס **משתמשת** בקנטור: חוצים קטעים שוב ושוב, בוחרים את החצי שמכיל אינסוף איברים, ומקבלים סדרת קטעים מקוננים. !!! warning "קטע סגור חיוני!" אם הקטעים **פתוחים**: $I_n = (0, 1/n)$ — מקוננים, אורך $\to 0$, אבל $\bigcap I_n = \emptyset$! --- ## דוגמה נוספת: תת-סדרה עם תנאי **טענה**: לכל סדרה חסומה $(a_n)$ ולכל $\varepsilon > 0$, קיימת תת-סדרה $(a_{n_k})$ עם $|a_{n_k} - a_{n_j}| < \varepsilon$ לכל $k, j$. **הוכחה**: מ-B-W, קיימת תת-סדרה מתכנסת $(a_{n_k}) \to L$. קיים $K$ כך שלכל $k > K$: $|a_{n_k} - L| < \varepsilon/2$. לכל $k, j > K$: $|a_{n_k} - a_{n_j}| \le |a_{n_k} - L| + |L - a_{n_j}| < \varepsilon$. ניקח את תת-הסדרה מאינדקס $K+1$ והלאה. $\blacksquare$