תרגול 1 — לוגיקה ושפה מתמטית
תרגול 1 | חשבון אינפיניטסימלי 1 — HUJI
פסוקים
פסוק = אמירה שניתן לשייך לה ערך אמת או שקר בצורה חד-משמעית.
| דוגמה | פסוק? | הסבר |
|---|
| 0=1 | כן (שקר) | אמירה ברורה |
| "המונה ליזה ציור יפה" | לא | סובייקטיבי, אין ערך חד-משמעי |
| x4≥0 | לא | לא ידוע מיהו x! |
| לכל x∈Q: x4≥0 | כן (אמת) | מכמת + תחום — הפך לפסוק |
כמתים (Quantifiers)
| סימן | שם | משמעות |
|---|
| ∀ | לכל (universal) | הטענה נכונה עבור כל x בתחום |
| ∃ | קיים (existential) | הטענה נכונה עבור לפחות x אחד |
שלילת כמתים
| טענה | שלילה |
|---|
| ∀x:P(x) | ∃x:¬P(x) |
| ∃x:P(x) | ∀x:¬P(x) |
כלל אצבע
שלילה = "הפוך כל ∀ ל-∃ (ולהפך), ושלול את הטענה הפנימית."
דוגמה מפורטת: שלילת גבול
טענה: limn→∞an=α
כתיבה פורמלית:
∀ε>0, ∃N∈N, ∀n>N: ∣an−α∣<ε
שלילה (= הסדרה לא מתכנסת ל-α):
∃ε>0, ∀N∈N, ∃n>N: ∣an−α∣≥ε
גרירה ושקילות
| קשר | סימן | משמעות |
|---|
| גרירה | A⇒B | אם A נכון, אז B נכון |
| שקילות | A⇔B | A אמ"מ B |
הוכחת שלילה (Proof by Contradiction)
כדי להוכיח A⇒B:
- נניח בשלילה A ו-¬B ← מגיעים לסתירה ← מוכיח שאם A אז B.
קונטרפוזיטיב
(A⇒B) שקול ל-(¬B⇒¬A).
דוגמה
"אם n2 זוגי אז n זוגי" שקול ל-"אם n אי-זוגי אז n2 אי-זוגי".
שלילה של טענות מורכבות
שלילת "לכל ... קיים ..."
| טענה מקורית | שלילה |
|---|
| ∀x, ∃y: P(x,y) | ∃x, ∀y: ¬P(x,y) |
| "לכל סטודנט יש קורס שהוא אוהב" | "קיים סטודנט שלא אוהב אף קורס" |
שלילת "קיים ... לכל ..."
| טענה מקורית | שלילה |
|---|
| ∃x, ∀y: P(x,y) | ∀x, ∃y: ¬P(x,y) |
| "קיים מרצה שכל הסטודנטים אוהבים" | "לכל מרצה, קיים סטודנט שלא אוהב אותו" |
דוגמה מפורטת: שלילת חסם מלעיל
טענה: M הוא חסם מלעיל של A.
כתיבה: ∀a∈A: a≤M.
שלילה: M אינו חסם מלעיל: ∃a∈A: a>M.
דוגמה: שלילת "סדרה חסומה"
טענה: (an) חסומה.
כתיבה: ∃M>0, ∀n∈N: ∣an∣≤M.
שלילה: (an) לא חסומה:
∀M>0, ∃n∈N: ∣an∣>M
משמעות: לא משנה איזה חסם תבחר — תמיד יש איבר שחורג ממנו.
טבלת אמת
| A | B | A⇒B | A⇔B | A∧B | A∨B |
|---|
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | F | F | T |
| F | T | T | F | F | T |
| F | F | T | T | F | F |
גרירה מ-'שקר' תמיד אמת!
A⇒B הוא שקרי רק כש-A אמת ו-B שקר. אם A שקר — הגרירה תמיד אמת (vacuously true).