המספרים הממשיים

פרק 1 | חשבון אינפיניטסימלי 1 — HUJI

אקסיומות שדה (Field Axioms)

המספרים הממשיים $\mathbb{R}$ מהווים שדה סדור שלם (complete ordered field).

שדה = קבוצה עם שתי פעולות (חיבור וכפל) שמקיימות 9 אקסיומות:

חיבור (4 אקסיומות)

כפל (4 אקסיומות)

חיבור + כפל

אקסיומות סדר (Order Axioms)

$\mathbb{R}$ הוא שדה סדור: מוגדר יחס $<$ שמקיים:

1. טריכוטומיה: לכל $a,b$ — בדיוק אחד מתקיים: $a < b$, $a = b$, $a > b$
2. טרנזיטיביות: $a < b$ ו-$b < c$ $\Rightarrow$ $a < c$
3. שימור חיבור: $a < b$ $\Rightarrow$ $a + c < b + c$
4. שימור כפל חיובי: $a < b$ ו-$c > 0$ $\Rightarrow$ $ac < bc$

ערך מוחלט

$|a| = \begin{cases} a & a \ge 0 \\ -a & a < 0 \end{cases}$

תכונות חשובות

• $|a| \ge 0$ תמיד, ו-$|a| = 0 \iff a = 0$
• $|ab| = |a| \cdot |b|$
• אי-שוויון המשולש: $|a + b| \le |a| + |b|$
• $|a - b| \le |a - c| + |c - b|$ (גרסת מרחק)

תת-קבוצות מיוחדות של $\mathbb{R}$

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

• $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}$ — הטבעיים
• $\mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$ — השלמים
• $\mathbb{Q} = \{p/q : p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}\}$ — הרציונליים

הוכחה באינדוקציה

לכל תכונה $P(n)$: אם $P(1)$ מתקיים (בסיס) ו-$P(n) \Rightarrow P(n+1)$ (צעד), אז $P(n)$ מתקיים לכל $n \in \mathbb{N}$.

חסמים, סופרמום ואינפימום

הגדרות

אפיון הסופרמום

$s = \sup A$ אם ורק אם:

1. $s$ הוא חסם עליון: $\forall a \in A: a \le s$
2. אין חסם עליון קטן ממנו: $\forall \varepsilon > 0, \exists a \in A: a > s - \varepsilon$

אקסיומת השלמות (Completeness)

כל קבוצה לא-ריקה וחסומה מלעיל ב-$\mathbb{R}$ מקבלת סופרמום ב-$\mathbb{R}$.

זו התכונה שמבדילה את $\mathbb{R}$ מ-$\mathbb{Q}$!

תכונת ארכימדס

לכל $x \in \mathbb{R}$, קיים $n \in \mathbb{N}$ כך ש-$n > x$.

משמעות: אין מספר ממשי אינסופי — הטבעיים לא חסומים מלעיל.

צפיפות $\mathbb{Q}$ ב-$\mathbb{R}$

בין כל שני ממשיים שונים קיים מספר רציונלי (ואי-רציונלי!).

חזקות

חזקות טבעיות ושלמות

• $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n}$ לכל $n \in \mathbb{N}$
• $a^0 = 1$, ו-$a^{-n} = (a^n)^{-1}$ לכל $a \ne 0$

חזקות רציונליות

$a^{p/q} = \sqrt[q]{a^p}$ — מוגדר כשהשורש קיים.

משפט: לכל $a > 0$ ו-$n \in \mathbb{N}$, קיים יחיד $b > 0$ כך ש-$b^n = a$. מסמנים $b = a^{1/n}$.