סיכום בחינות — מועד א' + מועד ב'

בחינה 80131 | חשבון אינפיניטסימלי 1 — HUJI, תשפ"ב

מבנה הבחינה

5 שאלות, עונים על 4 מתוכן
כל שאלה: 2 סעיפים (13 נק' כל אחד) = 26 נק' לשאלה
ציון מקסימלי: 100
ללא חומר עזר
3 שעות

חשוב

לא לענות על יותר מ-4 שאלות — ייבדקו רק 4 הראשונות!

נושאים עיקריים לפי שאלות

מועד א' (יולי 2022)

שאלה	נושאים	סוגי שאלות
1א	סדרות — חישוב גבול $\left(1 + \frac{2}{n^2}\right)^{n^2+1}$	חישוב + נימוק
1ב	נגזרת מימין — הגדרה + גזירות $\Rightarrow$ רציפות	הגדרה + הוכחה
2א	סופרמום: $\sup(A - B) = \sup A - \inf B$	הוכחה
2ב	סדרות: $c_n = \max(a_n, b_n)$ — התכנסות	הוכחה + דוגמה נגדית
3א	הגדרת $a^{1/n}$ , $a^r$ + הוכחה $a^r a^s = a^{r+s}$	הגדרות + הוכחה
3ב	פונקציה רציפה עם $\lim_{\pm\infty} = 0$ — קיום מקסימום	הוכחה + דוגמה נגדית
4א	סדרה לא חסומה — תת-סדרה עולה ממש	הוכחת קיום
4ב	$f'(x) \ge 1$ ו- $f(0) \ge 5$ $\Rightarrow$ $f(x) \ge 5+x$	הוכחה (MVT)
5א	הגדרת $\lim_{x \to \infty} f(x) = 17$ + הוכחת היינה	הגדרה + הוכחת משפט
5ב	פולינום טיילור ממעלה 2 של $\sin$ + גזירות $\frac{\sin x}{x}$	חישוב + הוכחה

מועד ב' (אוגוסט 2022)

שאלה	נושאים	סוגי שאלות
1א	סופרמום: הגדרה + $\sup(A \cup B) = \max(\sup A, \sup B)$	הגדרה + הוכחה
1ב	$	a_n
2א	הגדרת חזקות רציונליות + $(a^r)^s = a^{rs}$	הגדרות + הוכחה
2ב	$f: [0,1] \to \mathbb{R}$ רציפה — חסומה מלרע (הוכחת ויירשטראס)	הוכחה + דוגמה נגדית
3א	חישוב גבול $\left(1 + \frac{2}{n^2+4}\right)^{3n^2+5}$	חישוב + נימוק
3ב	$f \ge 0$ רציפה, $f(1) = 0$ , $\lim_\infty = 0$ — $\exists c: f'(c) = 0$	הוכחה (רול)
4א	שתי סדרות חסומות — תת-סדרה משותפת מתכנסת	הוכחה (B-W)
4ב	$f$ רציפה + עולה ממש על $\mathbb{Q}$ $\Rightarrow$ עולה ממש על $\mathbb{R}$	הוכחה
5א	הגדרת $\lim_{x \to 17} f(x) = \infty$ + הוכחת היינה	הגדרה + הוכחת משפט
5ב	מצאו פולינום $P$ עם $\frac{e^{2x} - P(x)}{x^5} \to 0$ — יחידות?	טיילור

סיכום: מה חוזר בבחינות?

נושאים שמופיעים בשני המועדים

נושא	סוג שאלה
הגדרות ( $\sup$ , גבול, חזקות)	"הגדירו" — חייבים לדעת בע"פ
חזקות רציונליות — הוכחת חוקים	הוכחה מההגדרה
היינה — הוכחת גרסה של המשפט	הוכחה (לא ציטוט!)
ויירשטראס / חסימות	הוכחה על קטע סגור
פולינום טיילור	חישוב + שימוש

סוגי שאלות נפוצים

סוג	תדירות	טיפ
"הגדירו"	כל מועד	ללמוד הגדרות מדויקות!
הוכחת משפט	כל מועד	לא ציטוט — הוכחה מלאה
הוכחה + דוגמה נגדית	כל מועד	אם ההפך לא נכון — דוגמה נגדית
חישוב גבול סדרה	כל מועד	בדרך כלל מהצורה $(1 + g(n))^{h(n)}$

טיפים לבחינה

אסטרטגיה

קראו את כל 5 השאלות לפני שמתחילים — בחרו את 4 הכי נוחות
התחילו מ"הגדירו" — נקודות קלות
"הוכיחו או הפריכו" — לרוב ההפך לא נכון, חפשו דוגמה נגדית
חישובי גבולות — נסו טיילור לפני לופיטל
ציטוט משפטים — כתבו את כל התנאים (רציפה ב- $[a,b]$ , גזירה ב- $(a,b)$ ...)

דוגמאות לשאלות "הגדירו"

מועד א': "הגדירו $f$ גזירה מימין ב- $a$ "

$f$ גזירה מימין ב- $a$ אם הגבול הבא קיים (במובן הצר):

$f'_+(a) = \lim_{x \to a^+} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$

מועד א': "הגדירו $\lim_{x \to \infty} f(x) = 17$ "

$\forall \varepsilon > 0,\ \exists R > 0:\ x > R \Rightarrow |f(x) - 17| < \varepsilon$

מועד ב': "הגדירו $\alpha = \sup(A)$ "

$\alpha \in \mathbb{R}$ הוא חסם עליון של $A$ אם:

$\alpha$ חסם מלעיל: $\forall a \in A:\ a \le \alpha$
$\alpha$ הקטן ביותר: $\forall \tilde{\alpha} < \alpha,\ \exists a \in A:\ a > \tilde{\alpha}$

דוגמאות לשאלות חישוב

$\left(1 + \frac{2}{n^2}\right)^{n^2+1}$ (מועד א')

פתרון: נכתוב:

$a_n = \left(1 + \frac{2}{n^2}\right)^{n^2+1} = \left(1 + \frac{2}{n^2}\right)^{n^2} \cdot \left(1 + \frac{2}{n^2}\right)$

הגורם השני $\to 1$ . הגורם הראשון: $\left[\left(1 + \frac{2}{n^2}\right)^{n^2/2}\right]^2 \to e^2$ .

(כי $(1 + k/m)^m \to e^k$ .) תשובה: $e^2$ .

$\left(1 + \frac{2}{n^2+4}\right)^{3n^2+5}$ (מועד ב')

פתרון: נכתוב $\frac{2}{n^2+4} \cdot (3n^2+5) = \frac{6n^2+10}{n^2+4} \to 6$ .

לכן $a_n \to e^6$ . תשובה: $e^6$ .

הגדרות שחייבים לדעת בע"פ

מושג	כמה מילים
גבול סדרה ( $\varepsilon$ - $N$ )	"לכל $\varepsilon$ , קיים $N$ , לכל $n > N$ : $\\|a_n - L\\| < \varepsilon$ "
סדרת קושי	"לכל $\varepsilon$ , קיים $N$ , לכל $m,n > N$ : $\\|a_m - a_n\\| < \varepsilon$ "
גבול פונקציה ( $\varepsilon$ - $\delta$ )	"לכל $\varepsilon$ , קיים $\delta$ , $0 < \\|x-a\\| < \delta \Rightarrow \\|f(x) - L\\| < \varepsilon$ "
רציפות בנקודה	" $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ "
נגזרת	" $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ "
סופרמום	"חסם מלעיל + הקטן ביותר"
$a^{1/n}$	"היחיד $x > 0$ עם $x^n = a$ "
$a^{p/q}$	" $(a^p)^{1/q}$ "

סיכום בחינות — מועד א' + מועד ב'

בחינה 80131 | חשבון אינפיניטסימלי 1 — HUJI, תשפ"ב

מבנה הבחינה

5 שאלות, עונים על 4 מתוכן
כל שאלה: 2 סעיפים (13 נק' כל אחד) = 26 נק' לשאלה
ציון מקסימלי: 100
ללא חומר עזר
3 שעות

חשוב

לא לענות על יותר מ-4 שאלות — ייבדקו רק 4 הראשונות!

נושאים עיקריים לפי שאלות

מועד א' (יולי 2022)

שאלה	נושאים	סוגי שאלות
1א	סדרות — חישוב גבול $\left(1 + \frac{2}{n^2}\right)^{n^2+1}$	חישוב + נימוק
1ב	נגזרת מימין — הגדרה + גזירות $\Rightarrow$ רציפות	הגדרה + הוכחה
2א	סופרמום: $\sup(A - B) = \sup A - \inf B$	הוכחה
2ב	סדרות: $c_n = \max(a_n, b_n)$ — התכנסות	הוכחה + דוגמה נגדית
3א	הגדרת $a^{1/n}$ , $a^r$ + הוכחה $a^r a^s = a^{r+s}$	הגדרות + הוכחה
3ב	פונקציה רציפה עם $\lim_{\pm\infty} = 0$ — קיום מקסימום	הוכחה + דוגמה נגדית
4א	סדרה לא חסומה — תת-סדרה עולה ממש	הוכחת קיום
4ב	$f'(x) \ge 1$ ו- $f(0) \ge 5$ $\Rightarrow$ $f(x) \ge 5+x$	הוכחה (MVT)
5א	הגדרת $\lim_{x \to \infty} f(x) = 17$ + הוכחת היינה	הגדרה + הוכחת משפט
5ב	פולינום טיילור ממעלה 2 של $\sin$ + גזירות $\frac{\sin x}{x}$	חישוב + הוכחה

מועד ב' (אוגוסט 2022)

שאלה	נושאים	סוגי שאלות
1א	סופרמום: הגדרה + $\sup(A \cup B) = \max(\sup A, \sup B)$	הגדרה + הוכחה
1ב	$	a_n
2א	הגדרת חזקות רציונליות + $(a^r)^s = a^{rs}$	הגדרות + הוכחה
2ב	$f: [0,1] \to \mathbb{R}$ רציפה — חסומה מלרע (הוכחת ויירשטראס)	הוכחה + דוגמה נגדית
3א	חישוב גבול $\left(1 + \frac{2}{n^2+4}\right)^{3n^2+5}$	חישוב + נימוק
3ב	$f \ge 0$ רציפה, $f(1) = 0$ , $\lim_\infty = 0$ — $\exists c: f'(c) = 0$	הוכחה (רול)
4א	שתי סדרות חסומות — תת-סדרה משותפת מתכנסת	הוכחה (B-W)
4ב	$f$ רציפה + עולה ממש על $\mathbb{Q}$ $\Rightarrow$ עולה ממש על $\mathbb{R}$	הוכחה
5א	הגדרת $\lim_{x \to 17} f(x) = \infty$ + הוכחת היינה	הגדרה + הוכחת משפט
5ב	מצאו פולינום $P$ עם $\frac{e^{2x} - P(x)}{x^5} \to 0$ — יחידות?	טיילור

סיכום: מה חוזר בבחינות?

נושאים שמופיעים בשני המועדים

נושא	סוג שאלה
הגדרות ( $\sup$ , גבול, חזקות)	"הגדירו" — חייבים לדעת בע"פ
חזקות רציונליות — הוכחת חוקים	הוכחה מההגדרה
היינה — הוכחת גרסה של המשפט	הוכחה (לא ציטוט!)
ויירשטראס / חסימות	הוכחה על קטע סגור
פולינום טיילור	חישוב + שימוש

סוגי שאלות נפוצים

סוג	תדירות	טיפ
"הגדירו"	כל מועד	ללמוד הגדרות מדויקות!
הוכחת משפט	כל מועד	לא ציטוט — הוכחה מלאה
הוכחה + דוגמה נגדית	כל מועד	אם ההפך לא נכון — דוגמה נגדית
חישוב גבול סדרה	כל מועד	בדרך כלל מהצורה $(1 + g(n))^{h(n)}$

טיפים לבחינה

אסטרטגיה

קראו את כל 5 השאלות לפני שמתחילים — בחרו את 4 הכי נוחות
התחילו מ"הגדירו" — נקודות קלות
"הוכיחו או הפריכו" — לרוב ההפך לא נכון, חפשו דוגמה נגדית
חישובי גבולות — נסו טיילור לפני לופיטל
ציטוט משפטים — כתבו את כל התנאים (רציפה ב- $[a,b]$ , גזירה ב- $(a,b)$ ...)

דוגמאות לשאלות "הגדירו"

מועד א': "הגדירו $f$ גזירה מימין ב- $a$ "

$f$ גזירה מימין ב- $a$ אם הגבול הבא קיים (במובן הצר):

$f'_+(a) = \lim_{x \to a^+} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$

מועד א': "הגדירו $\lim_{x \to \infty} f(x) = 17$ "

$\forall \varepsilon > 0,\ \exists R > 0:\ x > R \Rightarrow |f(x) - 17| < \varepsilon$

מועד ב': "הגדירו $\alpha = \sup(A)$ "

$\alpha \in \mathbb{R}$ הוא חסם עליון של $A$ אם:

$\alpha$ חסם מלעיל: $\forall a \in A:\ a \le \alpha$
$\alpha$ הקטן ביותר: $\forall \tilde{\alpha} < \alpha,\ \exists a \in A:\ a > \tilde{\alpha}$

דוגמאות לשאלות חישוב

$\left(1 + \frac{2}{n^2}\right)^{n^2+1}$ (מועד א')

פתרון: נכתוב:

$a_n = \left(1 + \frac{2}{n^2}\right)^{n^2+1} = \left(1 + \frac{2}{n^2}\right)^{n^2} \cdot \left(1 + \frac{2}{n^2}\right)$

הגורם השני $\to 1$ . הגורם הראשון: $\left[\left(1 + \frac{2}{n^2}\right)^{n^2/2}\right]^2 \to e^2$ .

(כי $(1 + k/m)^m \to e^k$ .) תשובה: $e^2$ .

$\left(1 + \frac{2}{n^2+4}\right)^{3n^2+5}$ (מועד ב')

פתרון: נכתוב $\frac{2}{n^2+4} \cdot (3n^2+5) = \frac{6n^2+10}{n^2+4} \to 6$ .

לכן $a_n \to e^6$ . תשובה: $e^6$ .

הגדרות שחייבים לדעת בע"פ

מושג	כמה מילים
גבול סדרה ( $\varepsilon$ - $N$ )	"לכל $\varepsilon$ , קיים $N$ , לכל $n > N$ : $\\|a_n - L\\| < \varepsilon$ "
סדרת קושי	"לכל $\varepsilon$ , קיים $N$ , לכל $m,n > N$ : $\\|a_m - a_n\\| < \varepsilon$ "
גבול פונקציה ( $\varepsilon$ - $\delta$ )	"לכל $\varepsilon$ , קיים $\delta$ , $0 < \\|x-a\\| < \delta \Rightarrow \\|f(x) - L\\| < \varepsilon$ "
רציפות בנקודה	" $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ "
נגזרת	" $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ "
סופרמום	"חסם מלעיל + הקטן ביותר"
$a^{1/n}$	"היחיד $x > 0$ עם $x^n = a$ "
$a^{p/q}$	" $(a^p)^{1/q}$ "

סיכום בחינות — מועד א' + מועד ב'

מבנה הבחינה

נושאים עיקריים לפי שאלות

מועד א' (יולי 2022)

מועד ב' (אוגוסט 2022)

סיכום: מה חוזר בבחינות?

נושאים שמופיעים בשני המועדים

סוגי שאלות נפוצים

טיפים לבחינה

דוגמאות לשאלות "הגדירו"

מועד א': "הגדירו fff גזירה מימין ב-aaa"

מועד א': "הגדירו lim⁡x→∞f(x)=17\lim_{x \to \infty} f(x) = 17limx→∞​f(x)=17"

מועד ב': "הגדירו α=sup⁡(A)\alpha = \sup(A)α=sup(A)"

דוגמאות לשאלות חישוב

(1+2n2)n2+1\left(1 + \frac{2}{n^2}\right)^{n^2+1}(1+n22​)n2+1 (מועד א')

(1+2n2+4)3n2+5\left(1 + \frac{2}{n^2+4}\right)^{3n^2+5}(1+n2+42​)3n2+5 (מועד ב')

הגדרות שחייבים לדעת בע"פ

סיכום בחינות — מועד א' + מועד ב'

מבנה הבחינה

נושאים עיקריים לפי שאלות

מועד א' (יולי 2022)

מועד ב' (אוגוסט 2022)

סיכום: מה חוזר בבחינות?

נושאים שמופיעים בשני המועדים

סוגי שאלות נפוצים

טיפים לבחינה

דוגמאות לשאלות "הגדירו"

מועד א': "הגדירו fff גזירה מימין ב-aaa"

מועד א': "הגדירו lim⁡x→∞f(x)=17\lim_{x \to \infty} f(x) = 17limx→∞​f(x)=17"

מועד ב': "הגדירו α=sup⁡(A)\alpha = \sup(A)α=sup(A)"

דוגמאות לשאלות חישוב

(1+2n2)n2+1\left(1 + \frac{2}{n^2}\right)^{n^2+1}(1+n22​)n2+1 (מועד א')

(1+2n2+4)3n2+5\left(1 + \frac{2}{n^2+4}\right)^{3n^2+5}(1+n2+42​)3n2+5 (מועד ב')

הגדרות שחייבים לדעת בע"פ

מועד א': "הגדירו $f$ גזירה מימין ב- $a$ "

מועד א': "הגדירו $\lim_{x \to \infty} f(x) = 17$ "

מועד ב': "הגדירו $\alpha = \sup(A)$ "

$\left(1 + \frac{2}{n^2}\right)^{n^2+1}$ (מועד א')

$\left(1 + \frac{2}{n^2+4}\right)^{3n^2+5}$ (מועד ב')

מועד א': "הגדירו $f$ גזירה מימין ב- $a$ "

מועד א': "הגדירו $\lim_{x \to \infty} f(x) = 17$ "

מועד ב': "הגדירו $\alpha = \sup(A)$ "

$\left(1 + \frac{2}{n^2}\right)^{n^2+1}$ (מועד א')

$\left(1 + \frac{2}{n^2+4}\right)^{3n^2+5}$ (מועד ב')