הרצאות 1-2: הקדמה וחסמים

קורס 67109 | מבני נתונים | 20 במרץ 2022

סיכום מאת דני פרוידנברגר

1. אלגוריתמים

למרות שקורס זה עוסק במבני נתונים, ישנו קשר הדוק ביניהם ובין אלגוריתמים.

הגדרה: אלגוריתם

אלגוריתם הוא מתכון (רשימת פעולות נדרשות בסדר מסוים) כדי לייצר פלט מבוקש בהתאם לקלט שמתקבל.

אלגוריתמים נפוצים במדעי המחשב:

מיון מערכי מספרים - קלט: מערך | פלט: מערך ממוין
מציאת מספרי טלפון של אדם מסוים - קלט: רשימת שמות עם מספרי טלפון | פלט: מספר טלפון ספציפי
מציאת מסלול שיעבור בכל הערים - קלט: מפה של ערים | פלט: מסלול

1.1 אלגוריתמים מול תוכנות

אלגוריתם הוא הרעיון האבסטרקטי שמתאר ב-high level אילו פעולות יש לעשות כדי להגיע מהקלט אל הפלט. המחשב לא יצליח להריץ את האלגוריתם ישירות, כי הוא לא ממומש.

תוכנה היא המימוש של האלגוריתם. ההוראות כתובות ב-low level כך שהקומפיילר של המחשב יכול להריץ אותן.

maxIndex = 0
max := a[0]
for i := 1 to 3 do:
    if (a[i] > max) then maxIndex := i
temp := a[3]
a[3] := a[maxIndex]
a[maxIndex] := temp

1.2 מבני נתונים

הדרך שבה אנחנו מאחסנים את המידע היא קריטית בשביל האלגוריתם. מבני הנתונים שנבחר ישפיעו על יעילות האלגוריתם.

כשמדברים על יעילות, מדברים על שני קריטריונים:

מהירות - כמה מהר האלגוריתם מסתיים, כתלות בקלט
מקום - כמה זיכרון נדרש להרצת האלגוריתם

דוגמה 1: חיפוש איבר מקסימלי במערך

מערך ממוין: פשוט מחזירים את האיבר האחרון - טריוויאלי
מערך לא ממוין: צריך לעבור על כל האיברים - פחות יעיל

דוגמה 2: פולינומים

רוצים להכפיל שני פולינומים $P, Q$ :

אחסון כגורמים לינאריים: קל להחזיר מכפלה. למשל $(x-1)(x+1)(x+2)$ כפול $(x+3)$ פשוט נותן $(x-1)(x+1)(x+2)(x+3)$
אחסון כסכומים: דורש הרבה חישובים, כי צריך לכפול איבר-איבר

1.3 מבני נתונים מופשטים (ADTs)

הגדרה: Abstract Data Types

בספרות העולמית ADT הוא תיאור אבסטרקטי של מבנה נתונים, המוגדר באמצעות הצורך שהוא צריך לספק. מבנה נתונים מממש ADT.

1.4 מטרות הקורס

אלגוריתמים - נלמד אלגוריתמים כגון חיפוש, מיון, אינדוקס
ניתוח אלגוריתמים - ניתוח של יעילות בזמן ובמקום
השוואת אלגוריתמים - נקבע איזה אלגוריתם יותר טוב
שאלות נוספות:
- האם יש פתרון לכל בעיה? (בעיית העצירה)
- האם יש פתרון יעיל?
- האם האלגוריתם שלי הוא הטוב ביותר?
- האם קיים פתרון "יעיל ביותר"?

2. סיווג בעיות לפי רמת קושי

דוגמה לבעיה קלה: המסלול הקצר ביותר

מציאת מסלול קצר ביותר בגרף - בעיה יחסית פשוטה.

דוגמה לבעיה קשה: בעיית האריזה

אחסון חלקים בתוך לוח כך שיתפסו כמה שפחות מקום. לכל צורה 4 אפשרויות, ויש $n$ חלקים, אז יש $4^n$ קומבינציות - פתרון אקספוננציאלי!

2.1 מדידת יעילות

נחלק את הניתוח לפי שלושה מקרים:

המקרה הטוב ביותר (Best Case)
המקרה הגרוע ביותר (Worst Case)
המקרה הממוצע (Average Case)

3. בעיית המיון

בבעיית המיון, יש לנו מערך של $n$ איברים ונרצה למיין אותו מהקטן לגדול.

3.1 מיון בועות (Bubble Sort)

נעבור משמאל לימין על כל זוג מספרים, ואם צריך - נחליף בין $A[i-1]$ לבין $A[i]$ . נעבור על המערך עד $n$ פעמים.

אחרי האיטרציה ה- $i$ : המספר ה- $i$ הגדול ביותר נמצא במקומו.

ניתוח יעילות: בכל איטרציה יש $\sim n$ פעולות, וסה"כ עד $n$ איטרציות:

$n \cdot n = n^2$

3.2 מיון מיזוג (Merge Sort)

חלק את המערך ל-2, כל תת-מערך חלק שוב ל-2, עד מערכים בגודל 1. ואז מזג כל זוג בצורה ממוינת חזרה למעלה.

ניתוח יעילות: מחלקים $\log n$ פעמים, ובכל מיזוג $n$ פעולות:

$T(n) = n \cdot \log n$

4. סיבוכיות

מדידה: נמדוד סיבוכיות ע"י מספר הפעולות (לא זמן בפועל), כפונקציה של גודל הקלט $n$ .

מיון הכנסה (Insertion Sort)

מסתכלים על הרישא (prefix) של המערך. כל פעם שנתקלים במספר חדש, מכניסים אותו למקום הנכון ברישא הממוינת.

for j = 1 to n-1:
    key = A[j]
    i = j - 1
    while i >= 0 and A[i] > key:
        A[i+1] = A[i]
        i = i - 1
    A[i+1] = key

זמן ריצה כולל:

$T(n) = c_1 n + c_2(n-1) + c_4(n-1) + c_5 \sum_{j=1}^{n-1} t_j + c_6 \sum_{j=1}^{n-1}(t_j - 1) + c_7 \sum_{j=1}^{n-1}(t_j - 1) + c_8(n-1)$

מקרה טוב (מערך ממוין): $T(n) = (c_1 + c_2 + c_4 + c_5 + c_8)n - (c_2 + c_4 + c_5 + c_8)$ - לינארי
מקרה גרוע (מערך ממוין הפוך): $T(n) = \frac{c_1 + c_6 + c_7}{2} n^2 + \frac{c_1 + c_2 + c_4 + c_8 + c_5 - c_6 - c_7}{2} n - (c_2 + c_4 + c_5 + c_8)$ - ריבועי

5. ניתוח אסימפטוטי

מעניין אותנו מקרים בהם $n$ גדול מאוד. נסתכל על $T(n) = f(n)$ כאשר $n \to \infty$ .

חסמים אסימפטוטיים

חסם עליון - Big O

$f(n) = O(g(n))$ אם קיימים $N \in \mathbb{N}$ ו- $c > 0$ כך שלכל $n \geq N$ : $f(n) \leq c \cdot g(n)$

כלומר, $g$ היא חסם עליון של $f$ - החל ממקום מסוים $g$ גדולה מ- $f$ (בהתעלמות מקבועים).

חסם תחתון - Big Omega

$f(n) = \Omega(g(n))$ אם קיימים $N \in \mathbb{N}$ ו- $c > 0$ כך שלכל $n \geq N$ : $f(n) \geq c \cdot g(n)$

חסם הדוק - Big Theta

$f(n) = \Theta(g(n))$ אם $f(n) = O(g(n))$ וגם $f(n) = \Omega(g(n))$

תכונות של חסמים

רפלקסיביות: $f(n) = O(f(n))$ , $f(n) = \Omega(f(n))$ , $f(n) = \Theta(f(n))$
סימטריה: $f(n) = \Theta(g(n))$ אם"ם $g(n) = \Theta(f(n))$
טרנזיטיביות: אם $f = O(g)$ וגם $g = O(h)$ אזי $f = O(h)$ (ודומה ל- $\Omega$ ו- $\Theta$ )

תכונות נוספות:

$O(O(f(n))) = O(f(n))$
$O(f(n) + g(n)) = O(f(n)) + O(g(n))$
$O(f(n) \cdot g(n)) = O(f(n)) \cdot O(g(n))$
$O(\log n) = O(\lg n)$ (כאשר $\lg = \log_2$ )

חסמים בפולינומים: מסתכלים על החזקה הגדולה ביותר. למשל $n^4 + 2n^2 - 5n + 7 = \Theta(n^4)$ .

הרצאה 2: חסמים ואלגוריתמים רקורסיביים

1. אלגוריתמים רקורסיביים

נחפש $T(n) = \Theta(f(n))$ - הפונקציה ההדוקה ביותר לזמן הריצה.

הנחות יסוד:

אורך הקלט $n$ מאוד גדול
$T(1) = 1$ (עבור קלט קטן הפתרון קבוע)
תנאי שפה נוחים (נניח $n = 2^k$ )

שיטת "הפרד ומשול": מפרידים את הבעיה לתתי-בעיות ומנתחים כעץ רקורסיבי.

שלוש שאלות מפתח:

לכמה תתי-בעיות מחלקים?
מה הגודל של כל תת-בעיה?
איך מחברים את תתי-הבעיות?

דוגמאות

דוגמה 1: חישוב עצרת

$n! = n \cdot (n-1)!$ , כך ש- $1! = 1$

$T(n) = T(n-1) + \Theta(1) = \Theta(n)$

עץ ברוחב 1 ועומק $n$ .

דוגמה 2: פיבונצ'י

$fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2)$

$T(n) = T(n-1) + T(n-2) + \Theta(1) = \Theta(2^n)$

רוחב העץ מוכפל פי 2 בכל רמה - גדילה אקספוננציאלית.

דוגמה 3: מיון הכנסה

$T(n) = T(n-1) + \Theta(n) = \Theta(n^2)$

סכום של סדרה חשבונית: $1 + 2 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$

דוגמה 4: חיפוש בינארי

$T(n) = T\left(\frac{n}{2}\right) + \Theta(1) = \Theta(\log n)$

דוגמה 5: Merge Sort

$T(n) = 2T\left(\frac{n}{2}\right) + \Theta(n) = \Theta(n \log n)$

שיטות לפתרון משוואות רקורסיביות

ניחוש - מנחשים תשובה ומוכיחים באינדוקציה
איטרציה - פותחים את הנוסחה וסוכמים
משפט האב (Master Theorem)

2. שיטת ההצבה

דוגמה: Merge Sort

נוכיח ש- $T(n) = \Theta(n\log n)$ כאשר $T(n) = 2T(\frac{n}{2}) + n$ .

הוכחת חסם עליון: $T(n) \leq 2 \cdot n\log n$

בסיס ( $n=2$ ): $T(2) = 2T(1) + 2 = 4 \leq 2 \cdot 2 \cdot \log 2 = 4$ ✓

צעד: נניח נכונות עבור $\frac{n}{2}$ :

$T(n) = 2T\left(\frac{n}{2}\right) + n \leq 2 \cdot \left[n \cdot \log\frac{n}{2}\right] + n = 2n\log n - n \leq 2n\log n$

3. שיטת האב (Master Theorem)

משפט האב

יהיו $a, b, c$ קבועים כך ש- $a, b \geq 1$ ו- $c \geq 0$ . תהי $T(n) = a \cdot T\left(\frac{n}{b}\right) + n^c$ כך ש- $T(1) = 1$ .

אם $\log_b a < c$ אזי $T(n) = \Theta(n^c)$
אם $\log_b a = c$ אזי $T(n) = \Theta(n^c \log_b n)$
אם $c < \log_b a$ אזי $T(n) = \Theta(n^{\log_b a})$

אינטואיציה:

$a$ = כמות הפיצולים (רוחב העץ)
$b$ = גודל כל תת-בעיה (עומק העץ)
$c$ = כמות העבודה בכל רמה (משקל)

שלושת המקרים:

עלים דומיננטיים: הפיצולים ( $a, b$ ) שולטים על העבודה ( $c$ )
שורש דומיננטי: העבודה ( $c$ ) שולטת על הפיצולים
שוויון: עלים ועבודה שווים

דוגמאות לשימוש במשפט האב

בעיה	נוסחה	$a, b, c$	מקרה	תוצאה
מיון מיזוג	$T(n) = 2T(\frac{n}{2}) + n$	$a=2, b=2, c=1$	$\log_2 2 = 1 = c$	$\Theta(n \log n)$
חיפוש בינארי	$T(n) = T(\frac{n}{2}) + 1$	$a=1, b=2, c=0$	$\log_2 1 = 0 = c$	$\Theta(\log n)$
אלגוריתם תאורטי	$T(n) = 16T(\frac{n}{4}) + n^3$	$a=16, b=4, c=3$	$\log_4 16 = 2 < 3 = c$	$\Theta(n^3)$

הרצאות 1-2: הקדמה וחסמים

קורס 67109 | מבני נתונים | 20 במרץ 2022

סיכום מאת דני פרוידנברגר

1. אלגוריתמים

למרות שקורס זה עוסק במבני נתונים, ישנו קשר הדוק ביניהם ובין אלגוריתמים.

הגדרה: אלגוריתם

אלגוריתם הוא מתכון (רשימת פעולות נדרשות בסדר מסוים) כדי לייצר פלט מבוקש בהתאם לקלט שמתקבל.

אלגוריתמים נפוצים במדעי המחשב:

מיון מערכי מספרים - קלט: מערך | פלט: מערך ממוין
מציאת מספרי טלפון של אדם מסוים - קלט: רשימת שמות עם מספרי טלפון | פלט: מספר טלפון ספציפי
מציאת מסלול שיעבור בכל הערים - קלט: מפה של ערים | פלט: מסלול

1.1 אלגוריתמים מול תוכנות

תוכנה היא המימוש של האלגוריתם. ההוראות כתובות ב-low level כך שהקומפיילר של המחשב יכול להריץ אותן.

maxIndex = 0
max := a[0]
for i := 1 to 3 do:
    if (a[i] > max) then maxIndex := i
temp := a[3]
a[3] := a[maxIndex]
a[maxIndex] := temp

1.2 מבני נתונים

הדרך שבה אנחנו מאחסנים את המידע היא קריטית בשביל האלגוריתם. מבני הנתונים שנבחר ישפיעו על יעילות האלגוריתם.

כשמדברים על יעילות, מדברים על שני קריטריונים:

מהירות - כמה מהר האלגוריתם מסתיים, כתלות בקלט
מקום - כמה זיכרון נדרש להרצת האלגוריתם

דוגמה 1: חיפוש איבר מקסימלי במערך

מערך ממוין: פשוט מחזירים את האיבר האחרון - טריוויאלי
מערך לא ממוין: צריך לעבור על כל האיברים - פחות יעיל

דוגמה 2: פולינומים

רוצים להכפיל שני פולינומים $P, Q$ :

אחסון כגורמים לינאריים: קל להחזיר מכפלה. למשל $(x-1)(x+1)(x+2)$ כפול $(x+3)$ פשוט נותן $(x-1)(x+1)(x+2)(x+3)$
אחסון כסכומים: דורש הרבה חישובים, כי צריך לכפול איבר-איבר

1.3 מבני נתונים מופשטים (ADTs)

הגדרה: Abstract Data Types

בספרות העולמית ADT הוא תיאור אבסטרקטי של מבנה נתונים, המוגדר באמצעות הצורך שהוא צריך לספק. מבנה נתונים מממש ADT.

1.4 מטרות הקורס

אלגוריתמים - נלמד אלגוריתמים כגון חיפוש, מיון, אינדוקס
ניתוח אלגוריתמים - ניתוח של יעילות בזמן ובמקום
השוואת אלגוריתמים - נקבע איזה אלגוריתם יותר טוב
שאלות נוספות:
- האם יש פתרון לכל בעיה? (בעיית העצירה)
- האם יש פתרון יעיל?
- האם האלגוריתם שלי הוא הטוב ביותר?
- האם קיים פתרון "יעיל ביותר"?

2. סיווג בעיות לפי רמת קושי

דוגמה לבעיה קלה: המסלול הקצר ביותר

מציאת מסלול קצר ביותר בגרף - בעיה יחסית פשוטה.

דוגמה לבעיה קשה: בעיית האריזה

2.1 מדידת יעילות

נחלק את הניתוח לפי שלושה מקרים:

המקרה הטוב ביותר (Best Case)
המקרה הגרוע ביותר (Worst Case)
המקרה הממוצע (Average Case)

3. בעיית המיון

בבעיית המיון, יש לנו מערך של $n$ איברים ונרצה למיין אותו מהקטן לגדול.

3.1 מיון בועות (Bubble Sort)

נעבור משמאל לימין על כל זוג מספרים, ואם צריך - נחליף בין $A[i-1]$ לבין $A[i]$ . נעבור על המערך עד $n$ פעמים.

אחרי האיטרציה ה- $i$ : המספר ה- $i$ הגדול ביותר נמצא במקומו.

ניתוח יעילות: בכל איטרציה יש $\sim n$ פעולות, וסה"כ עד $n$ איטרציות:

$n \cdot n = n^2$

3.2 מיון מיזוג (Merge Sort)

חלק את המערך ל-2, כל תת-מערך חלק שוב ל-2, עד מערכים בגודל 1. ואז מזג כל זוג בצורה ממוינת חזרה למעלה.

ניתוח יעילות: מחלקים $\log n$ פעמים, ובכל מיזוג $n$ פעולות:

$T(n) = n \cdot \log n$

4. סיבוכיות

מדידה: נמדוד סיבוכיות ע"י מספר הפעולות (לא זמן בפועל), כפונקציה של גודל הקלט $n$ .

מיון הכנסה (Insertion Sort)

מסתכלים על הרישא (prefix) של המערך. כל פעם שנתקלים במספר חדש, מכניסים אותו למקום הנכון ברישא הממוינת.

for j = 1 to n-1:
    key = A[j]
    i = j - 1
    while i >= 0 and A[i] > key:
        A[i+1] = A[i]
        i = i - 1
    A[i+1] = key

זמן ריצה כולל:

$T(n) = c_1 n + c_2(n-1) + c_4(n-1) + c_5 \sum_{j=1}^{n-1} t_j + c_6 \sum_{j=1}^{n-1}(t_j - 1) + c_7 \sum_{j=1}^{n-1}(t_j - 1) + c_8(n-1)$

מקרה טוב (מערך ממוין): $T(n) = (c_1 + c_2 + c_4 + c_5 + c_8)n - (c_2 + c_4 + c_5 + c_8)$ - לינארי
מקרה גרוע (מערך ממוין הפוך): $T(n) = \frac{c_1 + c_6 + c_7}{2} n^2 + \frac{c_1 + c_2 + c_4 + c_8 + c_5 - c_6 - c_7}{2} n - (c_2 + c_4 + c_5 + c_8)$ - ריבועי

5. ניתוח אסימפטוטי

מעניין אותנו מקרים בהם $n$ גדול מאוד. נסתכל על $T(n) = f(n)$ כאשר $n \to \infty$ .

חסמים אסימפטוטיים

חסם עליון - Big O

$f(n) = O(g(n))$ אם קיימים $N \in \mathbb{N}$ ו- $c > 0$ כך שלכל $n \geq N$ : $f(n) \leq c \cdot g(n)$

כלומר, $g$ היא חסם עליון של $f$ - החל ממקום מסוים $g$ גדולה מ- $f$ (בהתעלמות מקבועים).

חסם תחתון - Big Omega

$f(n) = \Omega(g(n))$ אם קיימים $N \in \mathbb{N}$ ו- $c > 0$ כך שלכל $n \geq N$ : $f(n) \geq c \cdot g(n)$

חסם הדוק - Big Theta

$f(n) = \Theta(g(n))$ אם $f(n) = O(g(n))$ וגם $f(n) = \Omega(g(n))$

תכונות של חסמים

רפלקסיביות: $f(n) = O(f(n))$ , $f(n) = \Omega(f(n))$ , $f(n) = \Theta(f(n))$
סימטריה: $f(n) = \Theta(g(n))$ אם"ם $g(n) = \Theta(f(n))$
טרנזיטיביות: אם $f = O(g)$ וגם $g = O(h)$ אזי $f = O(h)$ (ודומה ל- $\Omega$ ו- $\Theta$ )

תכונות נוספות:

$O(O(f(n))) = O(f(n))$
$O(f(n) + g(n)) = O(f(n)) + O(g(n))$
$O(f(n) \cdot g(n)) = O(f(n)) \cdot O(g(n))$
$O(\log n) = O(\lg n)$ (כאשר $\lg = \log_2$ )

חסמים בפולינומים: מסתכלים על החזקה הגדולה ביותר. למשל $n^4 + 2n^2 - 5n + 7 = \Theta(n^4)$ .

הרצאה 2: חסמים ואלגוריתמים רקורסיביים

1. אלגוריתמים רקורסיביים

נחפש $T(n) = \Theta(f(n))$ - הפונקציה ההדוקה ביותר לזמן הריצה.

הנחות יסוד:

אורך הקלט $n$ מאוד גדול
$T(1) = 1$ (עבור קלט קטן הפתרון קבוע)
תנאי שפה נוחים (נניח $n = 2^k$ )

שיטת "הפרד ומשול": מפרידים את הבעיה לתתי-בעיות ומנתחים כעץ רקורסיבי.

שלוש שאלות מפתח:

לכמה תתי-בעיות מחלקים?
מה הגודל של כל תת-בעיה?
איך מחברים את תתי-הבעיות?

דוגמאות

דוגמה 1: חישוב עצרת

$n! = n \cdot (n-1)!$ , כך ש- $1! = 1$

$T(n) = T(n-1) + \Theta(1) = \Theta(n)$

עץ ברוחב 1 ועומק $n$ .

דוגמה 2: פיבונצ'י

$fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2)$

$T(n) = T(n-1) + T(n-2) + \Theta(1) = \Theta(2^n)$

רוחב העץ מוכפל פי 2 בכל רמה - גדילה אקספוננציאלית.

דוגמה 3: מיון הכנסה

$T(n) = T(n-1) + \Theta(n) = \Theta(n^2)$

סכום של סדרה חשבונית: $1 + 2 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$

דוגמה 4: חיפוש בינארי

$T(n) = T\left(\frac{n}{2}\right) + \Theta(1) = \Theta(\log n)$

דוגמה 5: Merge Sort

$T(n) = 2T\left(\frac{n}{2}\right) + \Theta(n) = \Theta(n \log n)$

שיטות לפתרון משוואות רקורסיביות

ניחוש - מנחשים תשובה ומוכיחים באינדוקציה
איטרציה - פותחים את הנוסחה וסוכמים
משפט האב (Master Theorem)

2. שיטת ההצבה

דוגמה: Merge Sort

נוכיח ש- $T(n) = \Theta(n\log n)$ כאשר $T(n) = 2T(\frac{n}{2}) + n$ .

הוכחת חסם עליון: $T(n) \leq 2 \cdot n\log n$

בסיס ( $n=2$ ): $T(2) = 2T(1) + 2 = 4 \leq 2 \cdot 2 \cdot \log 2 = 4$ ✓

צעד: נניח נכונות עבור $\frac{n}{2}$ :

$T(n) = 2T\left(\frac{n}{2}\right) + n \leq 2 \cdot \left[n \cdot \log\frac{n}{2}\right] + n = 2n\log n - n \leq 2n\log n$

3. שיטת האב (Master Theorem)

משפט האב

יהיו $a, b, c$ קבועים כך ש- $a, b \geq 1$ ו- $c \geq 0$ . תהי $T(n) = a \cdot T\left(\frac{n}{b}\right) + n^c$ כך ש- $T(1) = 1$ .

אם $\log_b a < c$ אזי $T(n) = \Theta(n^c)$
אם $\log_b a = c$ אזי $T(n) = \Theta(n^c \log_b n)$
אם $c < \log_b a$ אזי $T(n) = \Theta(n^{\log_b a})$

אינטואיציה:

$a$ = כמות הפיצולים (רוחב העץ)
$b$ = גודל כל תת-בעיה (עומק העץ)
$c$ = כמות העבודה בכל רמה (משקל)

שלושת המקרים:

עלים דומיננטיים: הפיצולים ( $a, b$ ) שולטים על העבודה ( $c$ )
שורש דומיננטי: העבודה ( $c$ ) שולטת על הפיצולים
שוויון: עלים ועבודה שווים

דוגמאות לשימוש במשפט האב

בעיה	נוסחה	$a, b, c$	מקרה	תוצאה
מיון מיזוג	$T(n) = 2T(\frac{n}{2}) + n$	$a=2, b=2, c=1$	$\log_2 2 = 1 = c$	$\Theta(n \log n)$
חיפוש בינארי	$T(n) = T(\frac{n}{2}) + 1$	$a=1, b=2, c=0$	$\log_2 1 = 0 = c$	$\Theta(\log n)$
אלגוריתם תאורטי	$T(n) = 16T(\frac{n}{4}) + n^3$	$a=16, b=4, c=3$	$\log_4 16 = 2 < 3 = c$	$\Theta(n^3)$