# יחידה 9: מתאמים I — פירסון ## מבוא: מהו קשר בין משתנים?

**מתאם (Correlation)**: בין משתנים $X$ ו-$Y$ קיים קשר אם מידע על הערך שהתקבל ב-$X$ מלמד אותנו משהו על הערך הצפוי ב-$Y$.

### סוגי קשרים - **מונוטוני חיובי**: עלייה ב-$X$ → עלייה ב-$Y$ - **מונוטוני שלילי**: עלייה ב-$X$ → ירידה ב-$Y$ - **לא מונוטוני**: הכיוון משתנה (למשל, קשר פרבולי) - **ליניארי מושלם**: עלייה ב-$X$ מובילה לשינוי **קבוע** ב-$Y$ --- ## מקדם המתאם של פירסון ($r$)

**מקדם המתאם של פירסון** מודד את **עוצמת** ואת **כיוון** הקשר **הלינארי** בין שני משתנים: - $r = 1$: קשר ליניארי חיובי מושלם - $r = -1$: קשר ליניארי שלילי מושלם - $r = 0$: אין קשר ליניארי - $|r|$ קרוב ל-1: קשר חזק; קרוב ל-0: קשר חלש

--- ## שונות משותפת (Covariance) ### הרעיון **שונות** מודדת כמה משתנה **בודד** מפוזר סביב הממוצע. **שונות משותפת** מודדת כמה שני משתנים **משתנים יחד** ביחס לממוצעים שלהם.

$$\text{Cov}(X, Y) = \frac{\sum(X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{n - 1}$$

### פרשנות - $X_i > \bar{X}$ וגם $Y_i > \bar{Y}$ → תרומה **חיובית** - $X_i > \bar{X}$ וגם $Y_i < \bar{Y}$ → תרומה **שלילית** - שונות משותפת חיובית = קשר חיובי; שלילית = קשר שלילי ### הבעיה השונות המשותפת תלויה ב**יחידות המדידה** — לא ניתן להשוות בין מחקרים שונים. --- ## חישוב מקדם פירסון

**שונות משותפת מתוקננת**: $$r = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{s_X \cdot s_Y}$$ **נוסחה שקולה — ממוצע מכפלות ציוני Z**: $$r = \frac{\sum Z_X \cdot Z_Y}{n - 1}$$

מקדם פירסון = השונות המשותפת **מחולקת** במכפלת סטיות התקן → נותן ערך בין -1 ל-1. !!! example "דוגמה: זמן תגובה ואינטליגנציה (Dougherty & Haith, 1997)" **שאלה**: האם יש קשר בין זמן תגובה של תינוקות לבין IQ בגיל 4? | IQ | זמן תגובה (ms) | |----|---------------| | 90 | 580 | | 97 | 480 | | 108 | 500 | | 110 | 440 | | 116 | 450 | | 118 | 420 | | 127 | 480 | | 138 | 380 | **תוצאה**: $r = -0.7994$ מתאם **חזק ושלילי** — תינוקות עם זמן תגובה מהיר (נמוך) נוטים להיות ילדים עם IQ גבוה. --- ## תכונות מקדם פירסון ### השפעת טרנספורמציה לינארית - טרנספורמציה **חיובית** ($Y' = aY + b$, $a > 0$): $r$ **לא משתנה** - טרנספורמציה **שלילית** ($a < 0$): **גודל** $r$ לא משתנה, **סימן** מתהפך ### מה פירסון **לא** אומר לנו !!! warning "מגבלות חשובות" 1. **לא מזהה קשרים לא-ליניאריים**: $r = 0$ לא אומר שאין קשר — רק שאין קשר **ליניארי** 2. **רגיש לערכים קיצוניים**: תצפית חריגה אחת יכולה לשנות דרמטית את $r$ 3. **רגיש להגבלת טווח**: אם בוחרים רק חלק מהטווח, $r$ בדרך כלל **יורד** 4. **תלוי בגודל המדגם**: עם 2 תצפיות, $r$ תמיד = ±1 (קו ישר עובר דרך 2 נקודות) 5. **מתאם ≠ סיבתיות!** קשר בין נעליים להישגים במתמטיקה? → משתנה מתערב: גיל --- ## בדיקת מובהקות ### למה צריך? מתאם גבוה עלול להיות **מקרי**, במיוחד עם מדגם קטן. צריך לבדוק: האם $r$ שונה מ-0 באופן מובהק? ### השערות | סוג | $H_0$ | $H_1$ | |-----|---------|---------| | דו-צדדי | $\rho = 0$ | $\rho \neq 0$ | | חד-צדדי | $\rho \le 0$ | $\rho > 0$ | ### סטטיסטי המבחן

$$t = \frac{r}{\sqrt{\frac{1 - r^2}{n - 2}}}$$ דרגות חופש: $df = n - 2$

### הנחות 1. דגימה מקרית 2. התפלגות הדגימה של $r$ מתקרבת ל-t (בפרט כששני המשתנים נורמליים) !!! example "דוגמה: בדיקת מובהקות" $r = -0.7994$, $n = 8$, $df = 6$ $$t = \frac{-0.7994}{\sqrt{\frac{1 - 0.639}{6}}} = -3.26$$ ערך קריטי ($\alpha = 0.05$, דו-צדדי): $\pm 2.45$ $|-3.26| > 2.45$ → **דוחים** $H_0$. המתאם מובהק.