# יחידה 4: מבחנים א-פרמטריים — מבחני דירוג ## מבוא: פרמטרי מול א-פרמטרי

**מבחנים פרמטריים** (Z, t, F): - התפלגות הדגימה היא התפלגות תיאורטית מוכרת - **מבוססים על הנחות** לגבי צורת ההתפלגות (נורמליות) - עוצמה גבוהה **כשההנחות מתקיימות** **מבחנים א-פרמטריים**: - בונים את התפלגות הדגימה **ללא** הנחת נורמליות - משתמשים בקומבינטוריקה או בנתונים עצמם - **אמינים** גם כשהנחת הנורמליות לא מתקיימת

### יתרונות וחסרונות | | פרמטריים | א-פרמטריים | |---|----------|------------| | **יתרונות** | עוצמה גבוהה (כשהנחות מתקיימות) | אמינות ללא תלות בצורת ההתפלגות; גמישות (סולמות מדידה שונים) | | **חסרונות** | סיכון לשגיאות אם ההנחות לא מתקיימות | עוצמה נמוכה יותר (כשהנחות כן מתקיימות); מסקנות פחות ספציפיות | !!! info "כלל אצבע" כשמרפים על הנחות → בדרך כלל עוצמה יורדת. **אבל**: אם ההנחות מופרות, דווקא המבחן הא-פרמטרי יהיה חזק יותר. ### שני סוגי מבחנים א-פרמטריים 1. **מבחני דירוג** (יחידה זו) — בונים התפלגות דגימה מידע קומבינטורי/סטטיסטי 2. **מבחני דגימה מחדש** (יחידה 6) — בונים התפלגות דגימה מהנתונים עצמם --- ## מבחני דירוג: הרעיון

**מבחני דירוג** מתחשבים רק ב**סדר הדירוג** של התצפיות, לא בערכים המספריים עצמם. במקום לשאול "האם הממוצע שונה?" שואלים "האם הדירוגים מחולקים שווה בין הקבוצות?" — למעשה משווים **חציונים**.

--- ## מבחן וילקוקסון (Wilcoxon) — מדגמים תלויים ### מתי משתמשים? - חלופה א-פרמטרית ל-**t למדגמים תלויים** - מתאים לסולם **סדר ומעלה** - לא מניח נורמליות ### שלבי החישוב

1. חשב **הפרשים**: $D_i = X_{1i} - X_{2i}$ 2. חשב **ערכים מוחלטים**: $|D_i|$ 3. **דרג** את הערכים המוחלטים (מהקטן לגדול) 4. חשב את **סכום הדירוגים החיוביים** $T^+$ ואת **סכום הדירוגים השליליים** $T^-$ 5. סטטיסטי המבחן: $T = \min(T^+, T^-)$

### היגיון המבחן - תחת $H_0$: אין הבדל בין התנאים → הסימנים (+/-) מקריים → $T^+$ ו-$T^-$ צריכים להיות **דומים** - תחת $H_1$: יש הבדל → נצפה שרוב ההפרשים יהיו באותו כיוון → אחד מהם יהיה **קטן מאוד** ### בניית התפלגות הדגימה כל דירוג יכול לקבל סימן + או -, כלומר ל-$n$ דירוגים יש $2^n$ אפשרויות. סופרים כמה אפשרויות מובילות לכל ערך של $T^+$ ומחשבים הסתברויות. !!! example "דוגמה: Still Face (Tronick et al., 2005)" **שאלה**: האם תינוקות מביעים יותר מצוקה כשפני האם קפואות לעומת רגילות? **משתנה**: הבעות מצוקה (סולם 1-10, סדר) | נבדק | פנים קפואות ($X_1$) | פנים רגילות ($X_2$) | הפרש ($D$) | $\|D\|$ | דירוג | |------|----------------------|----------------------|-------------|-----------|-------| | 1 | 7 | 3 | 4 | 4 | 3.5 | | 2 | 5 | 2 | 3 | 3 | 3.5 | | 3 | 8 | 3 | 5 | 5 | 5 | | 4 | 4 | 6 | -2 | 2 | 2 | | 5 | 3 | 4 | -1 | 1 | 1 | $T^+ = 3.5 + 3.5 + 5 = 12$, $T^- = 1 + 2 = 3$, $T = 3$ **ערך קריטי** ($\alpha = 0.05$, חד-צדדי, $n=5$): $T_{\text{קריטי}} = 1$ **החלטה**: $3 > 1$ → **לא דוחים** את $H_0$ !!! warning "שימו לב" במבחן וילקוקסון, דוחים את $H_0$ כש-$T$ **קטן** מהערך הקריטי (הפוך מרוב המבחנים!). --- ## מבחן מאן-ויטני (Mann-Whitney) — מדגמים בלתי-תלויים ### מתי משתמשים? - חלופה א-פרמטרית ל-**t למדגמים בלתי-תלויים** - מתאים לסולם סדר ומעלה - לא מניח נורמליות ולא הומוגניות שונויות ### הרעיון: מדידת חפיפה

סטטיסטי $U$ מודד את **רמת החפיפה** בין שתי הקבוצות: - **חפיפה מלאה** = אין הבדל בין הקבוצות (ערך U גבוה) - **הפרדה מלאה** = הבדל מושלם בין הקבוצות (U = 0) - **חפיפה חלקית** = הבדל מסוים

### שלבי החישוב

1. **אחד** את שני המדגמים ו**דרג** את כל התצפיות יחד 2. לכל תצפית בקבוצה אחת, ספור כמה תצפיות מהקבוצה **השנייה** קיבלו דירוג **נמוך** יותר 3. חשב $U_1$ ו-$U_2$ (סכום הספירות לכל קבוצה) 4. סטטיסטי המבחן: $U = \min(U_1, U_2)$ **חישוב חלופי**: $$U_1 = n_1 \cdot n_2 + \frac{n_1(n_1+1)}{2} - R_1$$ כאשר $R_1$ = סכום הדירוגים של קבוצה 1.

### היגיון המבחן - תחת $H_0$: חפיפה גדולה → $U$ גבוה - תחת $H_1$: הפרדה → $U$ נמוך - דוחים את $H_0$ כש-$U$ **קטן** מהערך הקריטי !!! example "דוגמה: Still Face ותינוקות לאימהות מכורות" **שאלה**: האם תינוקות לאימהות מכורות לסמים מראים פחות אפקט Still Face? **נתונים**: שתי קבוצות בלתי-תלויות, משתנה סדר (1-10) $U = 6.5$, ערך קריטי ($\alpha = 0.05$, דו-צדדי, $n_1 = n_2 = 5$): $U_{\text{קריטי}} = 2$ **החלטה**: $6.5 > 2$ → **לא דוחים** את $H_0$ --- ## סיכום: בחירה בין מבחנים | מבחן פרמטרי | מקבילה א-פרמטרית | מדגמים | |-------------|-------------------|--------| | t למדגמים תלויים | **וילקוקסון** | תלויים | | t למדגמים בלתי-תלויים | **מאן-ויטני** | בלתי-תלויים | !!! info "מתי להעדיף א-פרמטרי?" - המשתנה בסולם **סדר** (לא רווח/יחס) - חשד שהנתונים **לא נורמליים** - מדגם **קטן** ואי אפשר להסתמך על משפט הגבול המרכזי - ערכים **קיצוניים** שעלולים להטות את הממוצע