יחידה 2: מבחני t לשני מדגמים

מבוא: השוואה בין קבוצות

ביחידה הקודמת בדקנו ממוצע יחיד מול ערך ידוע. עכשיו נשאל: האם יש הבדל בין שתי קבוצות?

שני סוגי מדגמים

מדגמים תלויים (זוגיים): אותם נבדקים נמדדים פעמיים (לפני/אחרי, שני תנאים)
מדגמים בלתי-תלויים: שתי קבוצות שונות ונפרדות

חלק א': מבחן t למדגמים תלויים (זוגיים)

מתי משתמשים?

מדגמים תלויים — כשיש התאמה בין התצפיות בשתי הקבוצות:

לפני ואחרי (ניתוח, טיפול, התערבות)
שני תנאים על אותו נבדק
התאמה טבעית (אם ובת, תאומים)
אותו נבדק מקבל שני טיפולים שונים

הרעיון: עובדים עם ההפרשים

במקום להשוות ישירות בין שתי הקבוצות, מחשבים את ההפרש $D_i = X_{1i} - X_{2i}$ עבור כל זוג, ואז מבצעים מבחן t למדגם בודד על ההפרשים.

סטטיסטי המבחן:

$t = \frac{\bar{D} - 0}{s_D / \sqrt{n}}$

כאשר:

$\bar{D}$ = ממוצע ההפרשים
$s_D$ = סטיית תקן ההפרשים
$n$ = מספר הזוגות
$df = n - 1$

השערות

סוג מבחן	$H_0$	$H_1$
דו-צדדי	$\mu_D = 0$	$\mu_D \neq 0$
חד-צדדי ימני	$\mu_D \le 0$	$\mu_D > 0$
חד-צדדי שמאלי	$\mu_D \ge 0$	$\mu_D < 0$

דוגמה: ראייה לפני ואחרי ניתוח קטרקט

נתונים (5 ילדים):

נבדק	לפני ( $X_2$ )	אחרי ( $X_1$ )	הפרש ( $D$ )
1	3	4	1
2	1	4	3
3	2	2	0
4	2	6	4
5	3	1	-2

$\bar{D} = 1.2$ , $s_D$ מחושב מההפרשים, $df = 4$

השערות (חד-צדדי ימני): $H_0: \mu_D \le 0$ , $H_1: \mu_D > 0$

חלק ב': מבחן t למדגמים בלתי-תלויים

מתי משתמשים?

מדגמים בלתי-תלויים — כששתי הקבוצות מורכבות מנבדקים שונים:

קבוצת ניסוי מול קבוצת ביקורת
גברים מול נשים
טיפול פסיכודינמי מול טיפול קוגניטיבי (על נבדקים שונים)
חיסון מול פלצבו

המקרה הנדיר: שונויות ידועות

כשהשונויות באוכלוסיה ידועות (כמעט אף פעם), סטטיסטי המבחן הוא:

$Z = \frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - \mu_0}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}}$

הנחת הומוגניות

אם נניח ש- $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2$ (שונויות שוות), המכנה מתפשט ל- $\sigma\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}$ .

המקרה הנפוץ: שונויות לא ידועות אך שוות (Pooled t-test)

כשהשונויות לא ידועות אבל מניחים שוויון שונויות (הומוגניות), אומדים את השונות המשותפת:

שונות משוקללת (Pooled Variance):

$s_p^2 = \frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}$

סטטיסטי המבחן:

$t = \frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - \mu_0}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}$

דרגות חופש: $df = n_1 + n_2 - 2$

למה שונות משוקללת?

אפשר להשתמש רק ב- $s_1^2$ או רק ב- $s_2^2$ , אבל זה מבזבז מידע. השונות המשוקללת מנצלת את שני המדגמים ומשקללת לפי דרגות החופש (מדגם גדול יותר מקבל משקל גדול יותר).

הנחות המבחן

דגימה מקרית
התפלגות נורמלית (או קירוב — מדגמים גדולים)
הומוגניות שונויות — שונויות האוכלוסיות שוות

דוגמה: תפיסת דמות-רקע

שאלה: האם תפיסת דמות-רקע של ילדים אחרי ניתוח דומה לילדים בריאים?

נתונים: $n_1 = 30$ , $n_2 = 38$ , $df = 66$

ערך קריטי: $t_{0.95, 66} = 1.67$

סטטיסטי המבחן: $t = 3.34$

החלטה: $3.34 > 1.67$ → דוחים את $H_0$ . יש הבדל מובהק — לילדים בריאים תפיסת דמות-רקע טובה יותר.

שונויות לא שוות (מבחן Welch)

כשהנחת ההומוגניות לא מתקיימת, משתמשים במבחן וולש:

סטטיסטי המבחן (ללא שונות משוקללת):

$t = \frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - \mu_0}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}$

דרגות חופש מתוקנות (נוסחת Welch):

$df = \frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}\right)^2}{n_1 - 1} + \frac{\left(\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{n_2 - 1}}$

מה מפסידים?

כשלא מניחים הומוגניות, דרגות החופש יורדות → צריך ערך קריטי גבוה יותר → עוצמת המבחן יורדת. זה המחיר של הנחה פחות מגבילה.

סיכום: בחירת מבחן t

מצב	סטטיסטי	$df$
מדגם בודד	$t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$	$n - 1$
מדגמים תלויים	$t = \frac{\bar{D}}{s_D/\sqrt{n}}$	$n - 1$
בלתי-תלויים, שונויות שוות	$t = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{s_p\sqrt{1/n_1 + 1/n_2}}$	$n_1 + n_2 - 2$
בלתי-תלויים, שונויות לא שוות	$t = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2}}$	נוסחת Welch

יחידה 2: מבחני t לשני מדגמים

מבוא: השוואה בין קבוצות

ביחידה הקודמת בדקנו ממוצע יחיד מול ערך ידוע. עכשיו נשאל: האם יש הבדל בין שתי קבוצות?

שני סוגי מדגמים

מדגמים תלויים (זוגיים): אותם נבדקים נמדדים פעמיים (לפני/אחרי, שני תנאים)
מדגמים בלתי-תלויים: שתי קבוצות שונות ונפרדות

חלק א': מבחן t למדגמים תלויים (זוגיים)

מתי משתמשים?

מדגמים תלויים — כשיש התאמה בין התצפיות בשתי הקבוצות:

לפני ואחרי (ניתוח, טיפול, התערבות)
שני תנאים על אותו נבדק
התאמה טבעית (אם ובת, תאומים)
אותו נבדק מקבל שני טיפולים שונים

הרעיון: עובדים עם ההפרשים

סטטיסטי המבחן:

$t = \frac{\bar{D} - 0}{s_D / \sqrt{n}}$

כאשר:

$\bar{D}$ = ממוצע ההפרשים
$s_D$ = סטיית תקן ההפרשים
$n$ = מספר הזוגות
$df = n - 1$

השערות

סוג מבחן	$H_0$	$H_1$
דו-צדדי	$\mu_D = 0$	$\mu_D \neq 0$
חד-צדדי ימני	$\mu_D \le 0$	$\mu_D > 0$
חד-צדדי שמאלי	$\mu_D \ge 0$	$\mu_D < 0$

דוגמה: ראייה לפני ואחרי ניתוח קטרקט

נתונים (5 ילדים):

נבדק	לפני ( $X_2$ )	אחרי ( $X_1$ )	הפרש ( $D$ )
1	3	4	1
2	1	4	3
3	2	2	0
4	2	6	4
5	3	1	-2

$\bar{D} = 1.2$ , $s_D$ מחושב מההפרשים, $df = 4$

השערות (חד-צדדי ימני): $H_0: \mu_D \le 0$ , $H_1: \mu_D > 0$

חלק ב': מבחן t למדגמים בלתי-תלויים

מתי משתמשים?

מדגמים בלתי-תלויים — כששתי הקבוצות מורכבות מנבדקים שונים:

קבוצת ניסוי מול קבוצת ביקורת
גברים מול נשים
טיפול פסיכודינמי מול טיפול קוגניטיבי (על נבדקים שונים)
חיסון מול פלצבו

המקרה הנדיר: שונויות ידועות

כשהשונויות באוכלוסיה ידועות (כמעט אף פעם), סטטיסטי המבחן הוא:

$Z = \frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - \mu_0}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}}$

הנחת הומוגניות

אם נניח ש- $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2$ (שונויות שוות), המכנה מתפשט ל- $\sigma\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}$ .

המקרה הנפוץ: שונויות לא ידועות אך שוות (Pooled t-test)

כשהשונויות לא ידועות אבל מניחים שוויון שונויות (הומוגניות), אומדים את השונות המשותפת:

שונות משוקללת (Pooled Variance):

$s_p^2 = \frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}$

סטטיסטי המבחן:

$t = \frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - \mu_0}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}$

דרגות חופש: $df = n_1 + n_2 - 2$

למה שונות משוקללת?

הנחות המבחן

דגימה מקרית
התפלגות נורמלית (או קירוב — מדגמים גדולים)
הומוגניות שונויות — שונויות האוכלוסיות שוות

דוגמה: תפיסת דמות-רקע

שאלה: האם תפיסת דמות-רקע של ילדים אחרי ניתוח דומה לילדים בריאים?

נתונים: $n_1 = 30$ , $n_2 = 38$ , $df = 66$

ערך קריטי: $t_{0.95, 66} = 1.67$

סטטיסטי המבחן: $t = 3.34$

החלטה: $3.34 > 1.67$ → דוחים את $H_0$ . יש הבדל מובהק — לילדים בריאים תפיסת דמות-רקע טובה יותר.

שונויות לא שוות (מבחן Welch)

כשהנחת ההומוגניות לא מתקיימת, משתמשים במבחן וולש:

סטטיסטי המבחן (ללא שונות משוקללת):

$t = \frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - \mu_0}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}$

דרגות חופש מתוקנות (נוסחת Welch):

$df = \frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}\right)^2}{n_1 - 1} + \frac{\left(\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{n_2 - 1}}$

מה מפסידים?

סיכום: בחירת מבחן t

מצב	סטטיסטי	$df$
מדגם בודד	$t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$	$n - 1$
מדגמים תלויים	$t = \frac{\bar{D}}{s_D/\sqrt{n}}$	$n - 1$
בלתי-תלויים, שונויות שוות	$t = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{s_p\sqrt{1/n_1 + 1/n_2}}$	$n_1 + n_2 - 2$
בלתי-תלויים, שונויות לא שוות	$t = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2}}$	נוסחת Welch