# יחידה 8: ייצוגים גרפיים, התפלגות וצפיפות יחידה זו עוסקת באופן שבו מתארים משתנים כמותיים באמצעות גרפים, ובמעבר ההדרגתי מייצוג של נתונים במדגם לייצוג תאורטי של משתנה באוכלוסייה. המעבר מתבצע בשלבים: - ייצוג נתונים במדגם (שכיחויות) - ייצוג רציף באמצעות היסטוגרמה - מעבר לצפיפות ולשטחים - פונקציית צפיפות כמודל אוכלוסייה --- ## מהי התפלגות התפלגות מתארת כיצד ערכי המשתנה **מתפזרים** על פני תחום הערכים האפשריים. לא מדובר בערך יחיד, אלא בתיאור של מבנה הנתונים כולו: איפה יש ריכוז, איפה יש דלילות, ומה צורת הפיזור. --- ## ייצוג נתונים במדגם כאשר עובדים עם מדגם סופי, הנתונים ניתנים לספירה. בשלב זה אנו מתארים את הנתונים באמצעות **שכיחויות**. ### דיאגרמת מקלות דיאגרמת מקלות מתאימה למשתנים בדידים או קטגוריאליים. מאפיינים: - ציר X – קטגוריות - ציר Y – שכיחות או שכיחות יחסית - אין משמעות למרחקים בין הקטגוריות גובה המקל מייצג ישירות את מספר התצפיות בקטגוריה. --- ## מעבר למשתנים רציפים כאשר המשתנה כמותי ורציף (למשל: זמן, גובה, משקל), לא ניתן לייצג כל ערך בנפרד. במקום זאת מחלקים את התחום לקטגוריות רציפות (bins). --- ## היסטוגרמה היסטוגרמה היא ייצוג גרפי של משתנה רציף במדגם. מאפיינים: - ציר X – תחומים רציפים - העמודות צמודות - לכל עמודה יש רוחב וגובה --- ## למה גובה העמודה הוא צפיפות ולא שכיחות נניח קטגוריה ברוחב \(w_i\) עם שכיחות \(f_i\). אם היינו מציבים את גובה העמודה כשכיחות, אז השטח היה: \[\hebrew{שטח} = f_i \cdot w_i\] ומחלקות רחבות היו מקבלות שטח גדול יותר גם בלי יותר נתונים. לכן מגדירים:

\[\hebrew{צפיפות} = \frac{f_i}{w_i}\]

ואז מתקיים: \[\hebrew{שטח} = \hebrew{צפיפות} \times \hebrew{רוחב} = f_i\] !!! note "מסקנה" **השטח מייצג שכיחות – לא הגובה.** --- ## צפיפות יחסית ונירמול כדי לעבור משכיחות להסתברות מדגמית, מחלקים את השכיחות ב־\(n\).

\[\hebrew{צפיפות יחסית} = \frac{f_i}{n \cdot w_i}\]

ואז: \[\hebrew{שטח העמודה} = \frac{f_i}{n}\] כלומר: השטח מייצג **הסתברות מדגמית**, וסכום כל השטחים שווה ל־1. --- ## מעבר מהיסטוגרמה לפונקציית צפיפות כאשר: - גודל המדגם גדל - רוחב הקטגוריות קטן ההיסטוגרמה מתקרבת לעקומה רציפה. בגבול מתקבלת **פונקציית צפיפות** \(f(x)\). --- ## פונקציית צפיפות

פונקציית צפיפות \(f(x)\) מקיימת: \[f(x) \ge 0 \qquad\text{and}\qquad \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1\]

ההסתברות לקבל ערך בתחום \([a,b]\) היא:

\[P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx\]

--- ## למה ההסתברות לערך מדויק היא אפס עבור משתנה רציף: \[P(X = x) = \int_x^x f(t)\,dt = 0\] נקודה היא קטע באורך אפס, ולכן השטח שלה אפס. !!! warning "שים לב" זה **לא** אומר שהערך בלתי אפשרי, אלא שאין לו משקל הסתברותי. --- ## צורות התפלגות ### התפלגות סימטרית - ממוצע = חציון = שכיח ### הטיה ימנית (זנב ימני) \[\hebrew{שכיח} < \hebrew{חציון} < \hebrew{ממוצע}\] ### הטיה שמאלית (זנב שמאלי) \[\hebrew{ממוצע} < \hebrew{חציון} < \hebrew{שכיח}\] --- ## ההתפלגות הפעמונית התפלגות נורמלית היא סימטרית ובעלת צורת פעמון, ומאופיינת על ידי: - \(\mu\) – תוחלת - \(\sigma\) – סטיית תקן סטיית התקן קובעת את רוחב ההתפלגות: סטיית תקן גדולה → פיזור רחב יותר. --- ## פוליגון פוליגון מתקבל מחיבור נקודות האמצע של מחלקות ההיסטוגרמה, כאשר ציר Y מייצג צפיפות. גם כאן: **השטח שמתחת לפוליגון מייצג שכיחות או הסתברות**. --- ## דגש מסכם ליחידה העיקרון המאחד של היחידה: !!! note "עיקרון מרכזי" **במשתנים רציפים — הסתברות מיוצגת על ידי שטח** המעבר:

מדגם ← היסטוגרמה ← צפיפות ← פונקציית צפיפות