# יחידה 7: מעבר ממדגם לאוכלוסייה יחידה זו עוסקת במעבר מהנתונים שנצפים בפועל (מדגם) אל מודל תאורטי של האוכלוסייה שממנה המדגם נלקח. זהו מעבר מושגי קריטי: משכיחויות והסתברויות אמפיריות אל הסתברות כתכונה של מודל. ## מדגם ואוכלוסייה ### הגדרות

- **אוכלוסייה (Population)** – אוסף כל המקרים האפשריים בעלי עניין, לרוב תאורטי ואינו נצפה במלואו. - **מדגם (Sample)** – תת־קבוצה סופית של האוכלוסייה שנמדדת בפועל.

### דגש מושגי - באוכלוסייה מדברים על **הסתברויות**. - במדגם מדברים על **שכיחויות**. - המדגם נועד לשמש מקור מידע על האוכלוסייה. ## פרמטר וסטטיסטי ### הגדרות

- **פרמטר (Parameter)** – גודל קבוע המתאר את האוכלוסייה כולה (למשל: \(\mu, \sigma, p\)). - **סטטיסטי (Statistic)** – גודל מחושב מתוך המדגם (למשל: \(\bar{X}, S, \hat{p}\)).

### דוגמאות

- \(\mu\) – ממוצע האוכלוסייה - \(\bar{X}\) – ממוצע המדגם - \(p\) – הסתברות באוכלוסייה - \(\hat{p}\) – שכיחות יחסית במדגם

!!! tip "דגש למבחן" סטטיסטי הוא **משתנה מקרי**. פרמטר הוא **קבוע לא ידוע**. ## משתנה מקרי (Random Variable) ### הגדרה

משתנה מקרי הוא פונקציה המתאימה ערך מספרי לכל תוצאה אפשרית בניסוי מקרי. \[X : \Omega \rightarrow \mathbb{R}\]

### פירוש המשתנה המקרי אינו "המדידה עצמה" אלא ייצוג מתמטי של תוצאת הניסוי. ## משתנה מקרי בדיד ורציף ### בדיד (Discrete) - מקבל מספר סופי או בן־מנייה של ערכים. - ניתן לדבר על: \(P(X = x)\) ### רציף (Continuous) - מקבל אינסוף ערכים בתחום רציף. - ההסתברות לערך בודד היא: \(P(X = x) = 0\) - הסתברות מוגדרת רק על קטעים. !!! warning "דגש למבחן" האפס אינו אומר "בלתי אפשרי" – אלא "זניח יחסית לאינסוף האפשרויות". ## שכיחות, שכיחות יחסית והסתברות ### במדגם - שכיחות: מספר הפעמים שערך מופיע. - שכיחות יחסית: \(\frac{f_i}{n}\) ### באוכלוסייה - אין ספירה בפועל. - יש הסתברות כתכונה של המודל. ### קשר חשוב כאשר גודל המדגם גדל:

שכיחות יחסית ← הסתברות

## תוחלת (Expectation) ### רעיון התוחלת היא הערך הממוצע של משתנה מקרי בטווח הארוך. ### בדיד

\[E(X) = \sum x \cdot P(X = x)\]

### רציף

\[E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x)\,dx\]

### פירוש אינטואיטיבי אם נבצע את הניסוי מספר רב מאוד של פעמים – הממוצע של התוצאות יתקרב לתוחלת. ## סטטיסטי כמשתנה מקרי ### רעיון מרכזי סטטיסטי (כמו \(\bar{X}\)) תלוי במדגם – ולכן הוא משתנה מקרי. ### משמעות - לסטטיסטי יש התפלגות. - ניתן לדבר על תוחלת ושונות של סטטיסטי. ## אמידה (Estimation) ### אומד (Estimator)

סטטיסטי שנועד להעריך פרמטר לא ידוע.

### דוגמה

\(\bar{X}\) הוא אומד ל־\(\mu\)

## תכונות של אומדים ### חוסר הטיה (Unbiasedness) \[E(\hat{\theta}) = \theta\] ### יעילות (Efficiency) אומד עם שונות קטנה יותר עדיף. ### קונסיסטנטיות (Consistency) כאשר \(n \to \infty\): \[\hat{\theta} \to \theta\] ### מספיקות (Sufficiency) האומד מכיל את כל המידע הרלוונטי על הפרמטר. ## דגש מסכם ליחידה יחידה זו מבצעת את המעבר:

נתונים ← סטטיסטים ← מודל הסתברותי ← פרמטרים

זהו הבסיס לכל הסטטיסטיקה ההיסקית בהמשך הקורס.