# יחידה 4: מדדי מיקום יחסי ומדדי קשר יחידה זו עוסקת במיקום של תצפית ביחס להתפלגות כולה, ובהמשך בקשר בין שני משתנים. הדגש הוא על תקנון (ציוני תקן), אחוזונים, ומתאם פירסון. ## מדדי מיקום יחסי – רעיון כללי מדדי מיקום יחסי עונים על השאלה: > איפה התצפית נמצאת ביחס לשאר התצפיות? בניגוד למדדי מרכז ופיזור, הם מתארים **תצפית בודדת** ולא את ההתפלגות כולה. ## ציוני תקן (Z-score) ### הגדרה

**ציון תקן** מתאר בכמה סטיות תקן תצפית רחוקה מהממוצע: \[Z_i = \frac{x_i - \bar{X}}{S_n}\]

### הסבר אינטואיטיבי כמה "חריג" הערך ביחס לשאר המדגם, תוך התחשבות בפיזור. ### דגשים למבחן - \(Z>0\) – תצפית מעל הממוצע. - \(Z<0\) – תצפית מתחת לממוצע. - \(Z=0\) – תצפית שווה לממוצע. - ציון תקן הוא **חסר יחידות**. ## למה משתמשים בציוני תקן - השוואת תצפיות מאותו משתנה במדגמים שונים. - השוואת אותה תכונה שנמדדה בכלים שונים. - השוואת תצפיות ממשתנים שונים לחלוטין (גובה, משקל, ציונים). !!! tip "דגש למבחן" השוואה בין ציונים גולמיים **אינה** מספיקה — יש להשוות ציוני תקן. ## תכונות מדגם לאחר תקנון לאחר המרה לציוני תקן: - ממוצע ציוני התקן: \(\bar{Z} = 0\) - סטיית תקן ציוני התקן: \(S_Z = 1\) - צורת ההתפלגות נשמרת. !!! note "דגש למבחן" תקנון **לא משנה** את עוצמת הקשר בין משתנים. ## מצבים מיוחדים בציוני תקן - אם \(S_n = 0\) (כל הערכים זהים) — **לא ניתן לחשב ציון תקן**. - ייתכן ציון תקן שלילי אך ערך מעל החציון. - אחוזון גבוה עם \(Z\) שלילי (בהתפלגות מוטה). ## אחוזונים ### הגדרה

האחוזון ה-\(p\) הוא ערך שמתחתיו נמצאים \(p\%\) מהתצפיות.

### הסבר אינטואיטיבי האחוזון אומר **כמה אחוזים נמצאים מתחת לערך**, לא מעליו. ### דגשים למבחן - האחוזון ה־50 הוא החציון. - אין צורך לדעת את צורת ההתפלגות כדי לפרש אחוזון.

**טעות נפוצה:** לחשוב שאחוזון 80 אומר שהערך גדול מ־80% מהטווח — לא נכון.

## מדדי קשר – מבוא מדדי קשר עונים על השאלה: > האם מידע על משתנה אחד מספק מידע על משתנה אחר? **קשר ≠ סיבתיות.** ## דיאגרמת פיזור (Scatter Plot) ### תיאור גרף שבו כל תצפית מיוצגת כנקודה במישור \((X,Y)\). ### מה בודקים - כיוון הקשר: חיובי / שלילי. - עוצמת הקשר: חזק / חלש / אין קשר. - קיצוניים והשפעתם. ## מקדם המתאם של פירסון ### תנאים - שני משתנים בסולם רווח או יחס. - קשר לינארי. ### הגדרה

מקדם המתאם של פירסון מודד את עוצמת וכיוון הקשר הלינארי: \[-1 \le r \le 1\]

### פירוש - \(r>0\) – קשר חיובי. - \(r<0\) – קשר שלילי. - \(r=0\) – אין קשר לינארי. - \(|r|\) קרוב ל־1 → קשר חזק. ## נוסחת מקדם המתאם

\[r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n \cdot S_{nx} \cdot S_{ny}}\] או שקול: \[r = \frac{1}{n}\sum Z_{x_i} Z_{y_i}\]

!!! tip "דגש למבחן" מתאם הוא **קו-וריאנס מתוקנן**. ## תכונות חשובות של מתאם פירסון - חסר יחידות. - סימטרי: \(r(x,y)=r(y,x)\). - הוספת קבוע או כפל בקבוע חיובי — לא משנה את \(r\). - כפל בקבוע שלילי — הופך את סימן \(r\). ## מצבים שבהם מתאם אינו מוגדר - סטיית התקן של אחד המשתנים שווה לאפס. !!! warning "דגש למבחן" לא אומרים \(r=0\) — אלא **לא מוגדר**. ## קשר חזק ≠ סיבתיות גם אם \(r\) גבוה: - לא ניתן להסיק על השפעה סיבתית. - ייתכן משתנה מתערב. ## השפעת טרנספורמציות לינאריות עבור טרנספורמציה \(Y = aX + b\): ### השפעה על ציון תקן - הוספת קבוע: ציון התקן **אינו משתנה**. - הכפלה בקבוע חיובי: ציון התקן **אינו משתנה**. - הכפלה בקבוע שלילי: סימן ציון התקן **מתהפך**. ### השפעה על מתאם פירסון - הוספת קבוע: המתאם **אינו משתנה**. - הכפלה בקבוע חיובי: המתאם **אינו משתנה**. - הכפלה בקבוע שלילי: סימן המתאם **מתהפך**. !!! note "דגש למבחן" טרנספורמציות לינאריות **אינן משנות עוצמת קשר**, רק את כיוונו במקרה של כפל שלילי. ## טעויות נפוצות במבחנים

- לחשב מתאם פירסון למשתנה מסולם סדר. - להסיק סיבתיות ממתאם. - לבלבל בין עוצמת הקשר לסימן הקשר. - לחשוב שתקנון משנה מתאם.