# משפטים מרכזיים ודוגמאות לשימוש !!! info "למה הדף הזה קיים" המתרגל הדגיש שחשוב לדעת *לזהות* את המשפטים ולהשתמש בהם במבחן. הדף הזה מאסף את המשפטים החשובים של הקורס במקום אחד, לכל אחד נותן **הקשר** ו**דוגמה לשימוש** מתרגיל בית או מבוחן, ומקשר חזרה לפרק הרלוונטי. !!! tip "איך להשתמש" 1. **לפני המבחן:** עוברים על המשפטים במהירות, מוודאים שאתם מכירים את כל הסטייטמנטים. 2. **בזמן הפתרון:** אם נתקעים — הסתכלו על "מתי להשתמש" של כל משפט. סיכוי טוב שאחד מהם פותח את השאלה. 3. **דוגמאות:** הלינקים מוליכים לפתרון מלא שמשתמש במשפט. --- # 1. פולינומים ## משפט בזו

**משפט:** עבור $f \in F[x]$ ו-$\alpha \in F$, השארית של $f$ בחילוק ב-$(x - \alpha)$ היא בדיוק $f(\alpha)$: $$f(x) = (x - \alpha) q(x) + f(\alpha)$$ **מסקנה:** $\alpha$ שורש של $f$ אם ורק אם $(x - \alpha) \mid f$.

!!! tip "מתי להשתמש" - לבדוק אם פולינום מתחלק ב-$(x - \alpha)$: הציבו $\alpha$. - לבנות פולינום עם שורש נתון. - להוכיח שלשני שורשים שונים, $(x - \alpha)(x - \beta) \mid f$. 📖 **פרק:** [פולינומים → משפט בזו](/course/lini2b/polynomials) 📝 **דוגמה לשימוש:** [תרגיל בית 1 — שאלה 4(ב)](/course/lini2b/hw1) — חישוב $f(\alpha)$ במקום לבצע חילוק שלם. --- ## משפט השורש הרציונלי

**משפט:** יהי $f = a_n x^n + \ldots + a_0 \in \mathbb{Z}[x]$. אם $\tfrac{p}{q} \in \mathbb{Q}$ שורש של $f$ עם $p, q$ זרים, אז: $$p \mid a_0, \qquad q \mid a_n$$

!!! tip "מתי להשתמש" כשנותנים פולינום עם מקדמים שלמים ומבקשים פירוק. הציבו את כל המועמדים $p/q$ ומוצאים שורש רציונלי, אם קיים. אחר כך מחלקים ב-$(x - p/q)$ ועובדים על פולינום ממעלה נמוכה יותר. 📖 **פרק:** [פולינומים → משפט השורש הרציונלי](/course/lini2b/polynomials) 📝 **דוגמה לשימוש:** פירוק $f = 2x^4 - 3x^3 - 7x^2 - 5x - 3$ — מועמדים $\pm 1, \pm 3, \pm \tfrac{1}{2}, \pm \tfrac{3}{2}$, מוצאים $3$ ו-$-1$ שורשים. [פרק פולינומים → דוגמאות פתורות](/course/lini2b/polynomials). --- ## המשפט היסודי של האלגברה

**משפט:** כל פולינום לא-קבוע ב-$\mathbb{C}[x]$ מתפרק לגורמים לינאריים מעל $\mathbb{C}$. **מסקנה:** לכל $f \in \mathbb{C}[x]$ ממעלה $n$ יש בדיוק $n$ שורשים (עם ריבוי) ב-$\mathbb{C}$.

!!! tip "מתי להשתמש" כשעובדים מעל $\mathbb{C}$ — תמיד הפולינום מתפרק. אם הפולינום ממשי, השורשים המרוכבים באים בזוגות צמודים (משפט הבא). 📖 **פרק:** [פולינומים → המשפט היסודי](/course/lini2b/polynomials) --- ## שורשים מרוכבים באים בזוגות

**משפט:** אם $f \in \mathbb{R}[x]$ ו-$z \in \mathbb{C}$ שורש של $f$, אז גם $\bar{z}$ שורש של $f$ (עם אותו ריבוי). **מסקנה:** פולינום ממשי מדרגה אי-זוגית יש לו לפחות שורש ממשי אחד.

!!! tip "מתי להשתמש" - כשמוכיחים שלמטריצה ממשית מאיזה סדר אי-זוגי יש ע"ע ממשי. - כשנותנים שורש מרוכב ויש לזהות שורש נוסף בחינם. - הוכחה: $0 = f(z) = \overline{f(z)} = f(\bar{z})$ כי המקדמים ממשיים. 📖 **פרק:** [פולינומים → שורשים מרוכבים בזוגות](/course/lini2b/polynomials) 📝 **דוגמה לשימוש:** הוכחת קיום ע"ע ממשי למטריצה $A \in M_3(\mathbb{R})$ — $p_A$ ממשי ממעלה 3, אז יש לו שורש ממשי. [פרק הערכים העצמיים → דוגמאות פתורות](/course/lini2b/eigenvalues). --- # 2. ערכים עצמיים — תכונות בסיסיות ## הטכניקה הכללית: פולינום של $A$ מחזיר $0$ על ע"ע

**עקרון מרכזי:** אם $Av = \lambda v$ עם $v \neq 0$, אז לכל פולינום $g \in F[x]$: $$g(A) v = g(\lambda) v$$ בפרט, אם $g(A) = 0$, אז $g(\lambda) = 0$ — כלומר $\lambda$ שורש של $g$.

!!! tip "מתי להשתמש" זו **הטכניקה החזקה ביותר** למצוא ע"ע מתוך זהות מטריציוניית כמו $A^2 + A + I = 0$ או $A^k = 0$. מפעילים את שני האגפים על $v$, מוציאים $\lambda$ במקום $A$, ומקבלים פולינום סקלרי שצריך להתאפס. 📖 **פרק:** [ערכים עצמיים](/course/lini2b/eigenvalues) 📝 **דוגמאות לשימוש:** - [תרגיל בית 2 — שאלה 1(א)](/course/lini2b/hw2): $A^2 + A + I = 0$ ⟹ $\lambda^2 + \lambda + 1 = 0$ ⟹ אין ע"ע ממשיים. - [תרגיל בית 2 — שאלה 1(ב)](/course/lini2b/hw2): $A^k = 0$ ⟹ $\lambda^k = 0$ ⟹ $\lambda = 0$. --- ## ע"ע משותף ל-$A$ ול-$A^T$, $A^{-1}$, $A^k$, $A + \mu I$

נניח $\lambda$ ע"ע של $A$: 1. **$\lambda$ ע"ע של $A^T$** (אותו פולינום אופייני, כי $\det(A^T - xI) = \det(A - xI)$). 2. **אם $A$ הפיכה, $\lambda^{-1}$ ע"ע של $A^{-1}$** (וכן $\lambda \neq 0$). 3. **$\lambda^k$ ע"ע של $A^k$** לכל $k \in \mathbb{N}$. 4. **$\lambda + \mu$ ע"ע של $A + \mu I$** לכל $\mu \in F$. 5. **מעל $\mathbb{C}$:** $\bar{\lambda}$ ע"ע של $\bar{A}$. עבור $A$ ממשית — ע"ע מרוכבים באים בזוגות צמודים.

!!! tip "מתי להשתמש" - כשנותנים זהות במטריצה (כמו $A$ דומה ל-$A^T$). - לחיסון ע"ע של חזקה / היפוך / הזזה במקום לחשב מאפס. - לאיתור ע"ע צמודים של מטריצה ממשית. 📖 **פרק:** [ערכים עצמיים](/course/lini2b/eigenvalues) 📝 **דוגמה לשימוש:** [תרגיל בית 2 — שאלה 2](/course/lini2b/hw2) — כל החמשת התכונות באותו פתרון. --- ## מטריצה סימטרית ממשית $2 \times 2$ — ע"ע ממשיים

**משפט:** עבור $A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{R})$ (סימטרית), כל הע"ע ממשיים. **רעיון ההוכחה:** הדיסקרימיננטה של $p_A$ היא $(a-c)^2 + 4b^2 \geq 0$ — סכום ריבועים.

!!! tip "מתי להשתמש" זה מקרה פרטי של משפט כללי יותר — כל מטריצה סימטרית ממשית (וכל מטריצה הרמיטית) יש לה רק ע"ע ממשיים. את המקרה הכללי מוכיחים בהמשך הקורס. 📖 **פרק:** [ערכים עצמיים](/course/lini2b/eigenvalues) 📝 **דוגמה לשימוש:** [תרגיל בית 2 — שאלה 3](/course/lini2b/hw2). --- ## ע"ע של $A^2$ ושל $A$ — קשר דרך $\pm$

**משפט:** אם $\lambda^2$ ערך עצמי של $A^2$, אז $\lambda$ או $-\lambda$ ערך עצמי של $A$. **הוכחה:** $(A^2 - \lambda^2 I) = (A - \lambda I)(A + \lambda I)$. אם $v \neq 0$ עם $(A^2 - \lambda^2 I)v = 0$: או ש-$(A + \lambda I)v = 0$ (אז $-\lambda$ ע"ע), או ש-$(A + \lambda I)v \neq 0$ ואז $(A + \lambda I)v$ ע"ע של $\lambda$. **אזהרה:** ההיפך לא תמיד נכון — לא לכל ע"ע של $A^2$ יש "שורש" ב-$A$. דוגמה: $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ (סיבוב $90°$) — אין ע"ע ב-$\mathbb{R}$, אבל $A^2 = -I$ עם ע"ע $-1$.

!!! tip "מתי להשתמש" כשנותנים מידע על $A^2$ ושואלים על $A$, או הפוך — קושרים בין הספקטרומים. 📖 **פרק:** [הפולינום האופייני](/course/lini2b/characteristic-polynomial) 📝 **דוגמה לשימוש:** [תרגיל בית 3 — שאלה 1](/course/lini2b/hw3). --- ## $AB \sim BA$ כאשר $A$ הפיכה

**משפט:** אם $A, B \in M_n(F)$ עם $A$ הפיכה, אז $BA = A^{-1}(AB)A$. כלומר $AB$ ו-$BA$ דומות, ובפרט יש להן אותם ע"ע עם אותם ריבויים אלגבריים. **הערה:** למעשה, התוצאה הזו נכונה גם בלי שהפיכות $A$ — לכל $A, B$, ל-$AB$ ול-$BA$ אותו פולינום אופייני (הוכחה מתוחכמת יותר).

!!! tip "מתי להשתמש" כשיש מכפלת מטריצות בסדר אחד והרצון לעבור לסדר השני. 📖 **פרק:** [הפולינום האופייני](/course/lini2b/characteristic-polynomial) 📝 **דוגמה לשימוש:** [תרגיל בית 3 — שאלה 2](/course/lini2b/hw3). --- # 3. הפולינום האופייני ## נוסחת trace ו-det דרך ע"ע

**משפט (לכל $n$):** אם $p_A$ מתפרק לגורמים לינאריים $(x - \lambda_1)\cdots(x - \lambda_n)$ (לאו דווקא שונים), אז: $$\text{tr}(A) = \lambda_1 + \ldots + \lambda_n, \qquad \det(A) = \lambda_1 \cdots \lambda_n$$ **מקרה $n = 2$:** $p_A(x) = x^2 - \text{tr}(A) x + \det(A)$.

!!! tip "מתי להשתמש" - כשנותנים $\text{tr}(A)$ ו-$\det(A)$ ומבקשים את הע"ע. - לאימות מהיר: אחרי שמחשבים ע"ע, מסכמים אותם וכופלים — האם זה תואם ל-$\text{tr}$ ו-$\det$? - להוכיח שאם ידועים $n-1$ ע"ע, השני יחיד. 📖 **פרק:** [הפולינום האופייני → דוגמאות פתורות](/course/lini2b/characteristic-polynomial) 📝 **דוגמה לשימוש:** מטריצה $2 \times 2$ עם $\text{rank}(A) = 1$ ו-$\text{tr}(A) = 3$ — הע"ע הם $0$ ו-$3$. [פרק הפולינום האופייני → דוגמאות פתורות](/course/lini2b/characteristic-polynomial). --- ## ריבוי גיאומטרי $\leq$ ריבוי אלגברי

**משפט:** עבור כל ערך עצמי $\lambda$ של $A$: $$1 \leq \text{gm}(\lambda) \leq \text{am}(\lambda)$$ כאשר: - $\text{am}(\lambda)$ — הריבוי של $\lambda$ כשורש של $p_A$ - $\text{gm}(\lambda) = \dim \ker(A - \lambda I) = \dim V_\lambda$

!!! tip "מתי להשתמש" - לחישוב חסם עליון מהיר ל-$\text{gm}$ אחרי מציאת $p_A$. - מתי המטריצה לכסינה? **כש-$\text{gm}(\lambda) = \text{am}(\lambda)$ לכל $\lambda$**. - אם נראה ש-$\text{gm}(\lambda) < \text{am}(\lambda)$ ⟹ לא לכסינה. 📖 **פרק:** [ערכים עצמיים](/course/lini2b/eigenvalues) 📝 **דוגמה לשימוש:** [תרגיל בית 2 — שאלה 4(ו)](/course/lini2b/hw2): מטריצה $3 \times 3$ עם $\text{am}(6) = 2$ אבל $\text{gm}(6) = 1$ ⟹ לא לכסינה. --- ## $\text{am}(\lambda) \geq 2 \iff p_A(\lambda) = p_A'(\lambda) = 0$

**משפט:** $\lambda$ ערך עצמי של $A$ מריבוי אלגברי לפחות $2$ אם ורק אם: $$p_A(\lambda) = 0 \quad \text{וגם} \quad p_A'(\lambda) = 0$$ **רעיון ההוכחה:** כלל לייבניץ. אם $p_A(x) = (x-\lambda)^2 r(x)$, אז $p_A'(x) = (x-\lambda)[2r(x) + (x-\lambda)r'(x)]$, ומציבים $\lambda$.

!!! tip "מתי להשתמש" זיהוי **שורשים כפולים** של $p_A$ בלי לבצע את הפירוק במפורש. גוזרים את $p_A$, מחפשים $\lambda$ שמאפס את שניהם. 📖 **פרק:** [הפולינום האופייני](/course/lini2b/characteristic-polynomial) 📝 **דוגמה לשימוש:** [תרגיל בית 3 — שאלה 3](/course/lini2b/hw3). --- ## $p_{A^2}(x^2) = p_A(x) \cdot p_A(-x)$

**זהות:** לכל $A \in M_n(F)$, $$p_{A^2}(x^2) = p_A(x) \cdot p_A(-x)$$ **הוכחה:** $A^2 - x^2 I = (A - xI)(A + xI)$, ולוקחים דטרמיננטות.

!!! tip "מתי להשתמש" קושר ספקטרום של $A$ לזה של $A^2$. בפרט: ע"ע של $A^2$ הם ריבועים של ע"ע של $A$ (מעל $\mathbb{C}$). חשוב במיוחד בנושאי ריבוי. 📖 **פרק:** [הפולינום האופייני → דוגמאות פתורות](/course/lini2b/characteristic-polynomial) 📝 **דוגמה לשימוש:** הוכחת הזהות $\text{am}_{A^2}(\lambda^2) = \text{am}_A(\lambda) + \text{am}_A(-\lambda)$ (תזה הבאה). --- ## $\text{am}_{A^2}(\lambda^2) = \text{am}_A(\lambda) + \text{am}_A(-\lambda)$

**משפט:** יהי $F$ שדה ממציין $\neq 2$, $0 \neq \lambda \in F$. אז: $$\text{am}_{A^2}(\lambda^2) = \text{am}_A(\lambda) + \text{am}_A(-\lambda)$$ **רעיון:** מהזהות $p_{A^2}(x^2) = p_A(x) p_A(-x)$, ספירת הריבוי של $\lambda$ בשני האגפים.

!!! tip "מתי להשתמש" בעיות עם ריבוי אלגברי ומטריצות שמתחלקות. דורש זהירות בקצוות ($\lambda = 0$, $\text{char} = 2$). 📖 **פרק:** [הפולינום האופייני → דוגמאות פתורות](/course/lini2b/characteristic-polynomial) --- # 4. דמיון מטריצות ## דמיון = אותו אופרטור בבסיסים שונים

**משפט:** 1. **כיוון ראשון:** אם $T : V \to V$ ה"ל ו-$B, C$ שני בסיסים, אז $[T]_B \sim [T]_C$. 2. **כיוון שני (יותר עדין):** אם $A \sim [T]_B$, אז קיים בסיס $C$ של $V$ כך ש-$A = [T]_C$. **מסקנה:** מחלקת הדמיון של אופרטור $T$ = אוסף המטריצות המייצגות שלו על פני כל הבסיסים.

!!! tip "מתי להשתמש" - להבין מהותית מתי שתי מטריצות "אותו דבר". - לבנות בסיס שמייצג מטריצה נתונה. - הצידוק העמוק לחשיבות לכסון וצורת ז'ורדן. 📖 **פרק:** [הפולינום האופייני → דמיון מטריצות](/course/lini2b/characteristic-polynomial) 📝 **דוגמה לשימוש:** [תרגיל בית 3 — שאלה 6](/course/lini2b/hw3). --- ## איזומורפיזם בין מרחבים עצמיים של מטריצות דומות

**משפט:** אם $B = P^{-1} A P$ ו-$\lambda$ ע"ע משותף, אז $T : V_\lambda(B) \to V_\lambda(A)$ המוגדרת ע"י $T(v) = Pv$ היא **איזומורפיזם**. **מסקנה:** $\dim V_\lambda(A) = \dim V_\lambda(B)$ — מטריצות דומות חולקות את הריבוי הגיאומטרי, לא רק האלגברי.

!!! tip "מתי להשתמש" שורת אינווריאנטים של דמיון: $p_A, \text{tr}, \det, \text{rank}, \text{am}(\lambda)$, וגם **$\text{gm}(\lambda)$**. 📖 **פרק:** [הפולינום האופייני](/course/lini2b/characteristic-polynomial) 📝 **דוגמה לשימוש:** [תרגיל בית 3 — שאלה 5](/course/lini2b/hw3). --- ## דמיון נשמר תחת פולינומים

**משפט:** אם $A \sim B$ (ע"י $P$), אז לכל פולינום $q \in F[x]$: $$q(A) \sim q(B) \quad \text{(ע"י אותה $P$)}$$ **מסקנות:** - $A \sim B$ ⟹ $A^k \sim B^k$ לכל $k$ - $A$ לכסינה ⟹ $q(A)$ לכסינה - כל פעולה פולינומיאלית שומרת על דמיון

!!! tip "מתי להשתמש" לתרגם בעיה על $f(A)$ לבעיה על $f(B)$ אם $B$ נוחה יותר (אלכסונית, ז'ורדן וכו'). 📖 **פרק:** [הפולינום האופייני → דוגמאות פתורות](/course/lini2b/characteristic-polynomial) 📝 **דוגמה לשימוש:** הוכחה ש-$A^n + a_{n-1} A^{n-1} + \ldots + a_0 I$ דומה ל-$B^n + a_{n-1} B^{n-1} + \ldots + a_0 I$ אם $A \sim B$. [פרק הפולינום האופייני → דוגמאות פתורות](/course/lini2b/characteristic-polynomial). --- ## $A^2 \sim B^2$ לא גורר $A \sim B$

**אזהרה:** דמיון לא הפיך תחת חזקה. דוגמה נגדית: $A = I$, $B = -I$. אז $A^2 = B^2 = I$, אבל ל-$A$ ולל-$B$ פולינומים אופייניים שונים, אז הן לא דומות.

!!! tip "מתי להיזהר" אם נותנים ש-$A^2 \sim B^2$ או ש-$A^k \sim B^k$, **אסור להסיק** ש-$A \sim B$. צריך מידע נוסף. 📖 **פרק:** [תרגיל בית 3 — שאלה 4](/course/lini2b/hw3) --- # 5. מפת המשפטים לפי "מתי משתמשים" !!! tip "טיפים לבחירת המשפט בשאלה" **שאלה על ע"ע מהזהות $g(A) = 0$:** השתמש בעקרון "$g(A)v = g(\lambda)v$" — סעיף 2 למעלה. **שאלה על ע"ע של $A^T$, $A^{-1}$, $A^k$, $A + \mu I$:** השתמש ב"ע"ע משותף ל-$A$ ול-$\ldots$". **שאלה על ע"ע של $A^2$:** השתמש ב-$p_{A^2}(x^2) = p_A(x) p_A(-x)$ או ב"$\lambda^2$ ev של $A^2$ ⟹ $\pm\lambda$ ev של $A$". **שאלה עם $\text{rank}, \text{tr}, \det$ ידועים:** השתמש בנוסחאות וייטה — סעיף 3. **שאלה על ריבוי כפול:** השתמש ב-$p_A(\lambda) = p_A'(\lambda) = 0$. **שאלה על דמיון:** השתמש ב"דמיון = אותו אופרטור בבסיסים שונים" או באינווריאנטים של דמיון. **שאלה על $AB$ ו-$BA$:** $BA = A^{-1}(AB)A$ אם $A$ הפיכה. --- !!! info "תוספות עתידיות" כשיתווספו מבחני עבר ל-`Tau/year1/semesterB/lini2B/official_material/` (תיקיה כמו `exams/` או `past_exams/`), אפשר יהיה להעשיר את הדף בדוגמאות נוספות מהבחינות עצמן. הדף מובנה כך שקל להוסיף "📝 דוגמה נוספת: ..." תחת כל משפט.