# הטלה אורתוגונלית ותהליך גרם-שמידט !!! info "הרצאה 10" היטל על תת-מרחב. תהליך גרם-שמידט. פירוק QR. --- ## תהליך גרם-שמידט

**משפט גרם-שמידט:** לכל קבוצה בלתי תלויה לינארית ניתן להפוך לקבוצה אורתונורמלית הפורשת את אותו תת-מרחב.

**האלגוריתם:** נתונה קבוצה $ \{v_1, \ldots, v_n\} $ בלתי תלויה. **שלב 1 — אורתוגונליזציה:** \[ u_1 = v_1 \] \[ u_k = v_k - \sum_{j=1}^{k-1} \frac{\langle v_k, u_j \rangle}{\langle u_j, u_j \rangle} u_j \] **שלב 2 — נרמול:** \[ e_k = \frac{u_k}{\|u_k\|} \]

--- ## הטלה אורתוגונלית

**הטלה על תת-מרחב:** אם $ W $ תת-מרחב עם בסיס אורתונורמלי $ \{e_1, \ldots, e_k\} $, אז ההטלה של $ v $ על $ W $: \[ \text{proj}_W(v) = \sum_{i=1}^{k} \langle v, e_i \rangle e_i \]

**הטלה על וקטור:** \[ \text{proj}_u(v) = \frac{\langle v, u \rangle}{\langle u, u \rangle} u \]

**משפט:** ההטלה $\text{proj}_W(v)$ היא הוקטור ב-$W$ הקרוב ביותר ל-$v$: $$\|v - \text{proj}_W(v)\| \leq \|v - w\| \quad \forall w \in W$$

--- ## פירוק QR

**משפט:** לכל מטריצה $A \in M_{m \times n}(F)$ שעמודותיה בלתי תלויות לינארית, קיים פירוק: $$A = QR$$ כאשר: - $Q$ — מטריצה עם עמודות אורתונורמליות - $R$ — מטריצה משולשת עליונה עם איברים חיוביים על האלכסון

**חישוב:** פירוק QR מתקבל ישירות מתהליך גרם-שמידט: 1. הפעל גרם-שמידט על עמודות $A$ → עמודות $Q$ 2. $R = Q^T A$ (או $R = Q^* A$ במקרה המרוכב)

!!! tip "טיפ לפתרון" פירוק QR שימושי גם בשילוש אורתוגונלי/יוניטרי (הרצאה 12).