# פולינום מינימלי וסכום ישר !!! info "הרצאה 5" פולינום מינימלי. סכום ישר. תת-מרחבים אינווריאנטיים. --- ## פולינום מינימלי

**הפולינום המינימלי** $m_A(x)$ הוא הפולינום המתוקן מהדרגה הנמוכה ביותר המקיים $m_A(A) = 0$.

**תכונות:** 1. $m_A(x)$ מחלק את $p_A(x)$ (הפולינום האופייני) 2. ל-$m_A$ ול-$p_A$ אותם שורשים (אבל אולי ריבויים שונים) 3. $A$ לכסינה $\Leftrightarrow$ $m_A(x)$ מתפרק לגורמים לינאריים **שונים** (ללא ריבוי) 4. $A$ ניתנת לשילוש $\Leftrightarrow$ $m_A(x)$ מתפצל (מותר ריבוי)

**דוגמה:** $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ - $p_A(\lambda) = (\lambda - 2)^2$ - $m_A(\lambda) = \lambda - 2$ (כי $A - 2I = 0$) - הפולינום המינימלי מדרגה 1, נמוך מדרגת האופייני

--- ## קבוצה מאיינת (Annihilator)

**קבוצה מאיינת** של $A$: קבוצת כל הפולינומים $q(x)$ המקיימים $q(A) = 0$. $$\text{Ann}(A) = \{ q(x) \in F[x] : q(A) = 0 \}$$

**משפט:** $q(x) \in \text{Ann}(A)$ אם ורק אם $m_A(x)$ מחלק את $q(x)$.

--- ## סכום ישר

**הגדרה:** מרחב $V$ הוא **סכום ישר** של תתי-מרחבים $W_1, \ldots, W_k$: $$V = W_1 \oplus W_2 \oplus \cdots \oplus W_k$$ אם כל $v \in V$ ניתן לכתיבה **יחידה** כ: $$v = w_1 + w_2 + \cdots + w_k, \quad w_i \in W_i$$

**תנאי שקול:** $V = W_1 \oplus \cdots \oplus W_k$ אם ורק אם: 1. $V = W_1 + \cdots + W_k$ (סכום) 2. $\dim(V) = \dim(W_1) + \cdots + \dim(W_k)$

--- ## תת-מרחב אינווריאנטי

**הגדרה:** תת-מרחב $W \subseteq V$ נקרא **$T$-אינווריאנטי** (עבור ה"ל $T: V \to V$) אם: $$T(W) \subseteq W$$

**דוגמאות:** - $\{0\}$ ו-$V$ הם תמיד $T$-אינווריאנטיים - $\ker(T)$ ו-$\text{Im}(T)$ הם $T$-אינווריאנטיים - מרחב עצמי $V_\lambda = \ker(T - \lambda I)$ הוא $T$-אינווריאנטי

--- ## לכסון סימולטני

**הגדרה:** שתי מטריצות $A, B$ נקראות **לכסינות סימולטנית** אם קיימת מטריצה הפיכה $P$ אחת כך ש: $$P^{-1}AP = D_1, \quad P^{-1}BP = D_2$$ כאשר $D_1, D_2$ אלכסוניות.

**משפט:** $A, B$ לכסינות סימולטנית אם ורק אם: 1. שתיהן לכסינות 2. הן **מתחלפות**: $AB = BA$