19:I[73668,["/_next/static/chunks/64ba8a9a5b2d96ec.js","/_next/static/chunks/af2dd974875ed656.js"],"ProtectedContent"] 1a:I[87524,["/_next/static/chunks/64ba8a9a5b2d96ec.js","/_next/static/chunks/af2dd974875ed656.js"],"ContentErrorBoundary"] 1c:I[59737,["/_next/static/chunks/64ba8a9a5b2d96ec.js","/_next/static/chunks/af2dd974875ed656.js"],"CopyCodeButton"] 1d:I[81681,["/_next/static/chunks/64ba8a9a5b2d96ec.js","/_next/static/chunks/af2dd974875ed656.js"],"UnitProgress"] 1e:I[94207,["/_next/static/chunks/64ba8a9a5b2d96ec.js","/_next/static/chunks/af2dd974875ed656.js"],"TableOfContents"] 20:I[1209,["/_next/static/chunks/64ba8a9a5b2d96ec.js","/_next/static/chunks/af2dd974875ed656.js"],"BackToTop"] 1f:T76e,# מרחבי שורות ועמודות ## מרחב העמודות

**הגדרה:** **מרחב העמודות** של מטריצה \( A \in M_{m \times n}(F) \) הוא תת-המרחב של \( F^m \) הנפרש ע"י עמודות \( A \): \[ C(A) = \text{Span}\{A_1, A_2, \ldots, A_n\} \] כאשר \( A_j \) היא העמודה ה-\( j \) של \( A \).

--- ## מרחב השורות

**הגדרה:** **מרחב השורות** של מטריצה \( A \) הוא תת-המרחב של \( F^n \) הנפרש ע"י שורות \( A \): \[ R(A) = \text{Span}\{R_1, R_2, \ldots, R_m\} = C(A^T) \]

--- ## דרגת מטריצה

**משפט:** \[ \text{rank}(A) = \dim(C(A)) = \dim(R(A)) \] כלומר: **מימד מרחב העמודות שווה למימד מרחב השורות!**

--- ## קשר לפעולות שורה

**משפט:** פעולות שורה אלמנטריות: 1. **משמרות** את מרחב השורות 2. **לא בהכרח משמרות** את מרחב העמודות 3. **משמרות** את יחסי התלות הלינארית בין העמודות

--- ## מציאת בסיס

**בסיס למרחב השורות:** השורות השונות מאפס בצורה המדורגת. **בסיס למרחב העמודות:** העמודות של \( A \) המקורית במיקומי הפיבוטים.

--- ## אינטואיציה גיאומטרית

- **מרחב העמודות** = כל הוקטורים שאפשר "להגיע אליהם" ע"י כפל \( A \cdot x \) - **מרחב השורות** = כל הכיוונים שבהם המטריצה "פועלת" - **הדרגה** מודדת כמה "מידע" יש במטריצה