# תלות ואי-תלות לינארית ## צירוף לינארי

**הגדרה:** יהיו \( v_1, v_2, \ldots, v_n \in V \). **צירוף לינארי** שלהם הוא ביטוי מהצורה: \[ \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n \] כאשר \( \alpha_1, \ldots, \alpha_n \in F \).

--- ## תלות לינארית

**הגדרה:** קבוצת וקטורים \( \{v_1, \ldots, v_n\} \) נקראת **תלויה לינארית** אם קיימים סקלרים \( \alpha_1, \ldots, \alpha_n \in F \), **לא כולם אפס**, כך ש: \[ \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n = 0 \]

**הגדרה:** קבוצה היא **בלתי תלויה לינארית** אם היא לא תלויה לינארית. כלומר: הצירוף הלינארי היחיד ששווה לאפס הוא הצירוף הטריוויאלי (כל המקדמים אפס).

--- ## תכונות חשובות

**משפט:** קבוצה \( S = \{v_1, \ldots, v_n\} \) תלויה לינארית אם ורק אם קיים וקטור ב-\( S \) שהוא צירוף לינארי של האחרים.

**שימו לב:** - קבוצה המכילה את וקטור האפס היא תמיד **תלויה לינארית** - קבוצה ריקה היא **בלתי תלויה לינארית** (לפי הגדרה) - קבוצה בת איבר אחד \( \{v\} \) בלתי תלויה אם"ם \( v \neq 0 \)

--- ## פרישה (Span)

**הגדרה:** הפרישה של קבוצת וקטורים \( S = \{v_1, \ldots, v_n\} \) היא: \[ \text{Span}(S) = \{ \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_n v_n : \alpha_i \in F \} \] זוהי קבוצת כל הצירופים הלינאריים של וקטורי \( S \).

**משפט:** \( \text{Span}(S) \) הוא תת-המרחב הקטן ביותר המכיל את \( S \).

--- ## בסיס ומימד

**הגדרה:** קבוצה \( B = \{v_1, \ldots, v_n\} \) היא **בסיס** של \( V \) אם: 1. \( B \) בלתי תלויה לינארית 2. \( B \) פורשת את \( V \) (כלומר \( \text{Span}(B) = V \))

**משפט (משפט ההחלפה של שטיינץ):** יהי \( V \) מרחב וקטורי נוצר סופית. אז: - לכל שני בסיסים של \( V \) יש אותו מספר איברים - מספר זה נקרא **המימד** של \( V \), ומסומן \( \dim(V) \)

--- ## משפטים על מימד

**משפט:** יהי \( V \) מרחב וקטורי ממימד \( n \). אז: 1. כל קבוצה פורשת מכילה לפחות \( n \) וקטורים 2. כל קבוצה בלתי תלויה מכילה לכל היותר \( n \) וקטורים 3. קבוצה בת \( n \) איברים היא בסיס אם"ם היא פורשת אם"ם היא בלתי תלויה

**דוגמאות למימדים:** | מרחב | מימד | |------|------| | \( \mathbb{R}^n \) | \( n \) | | \( M_{m \times n}(F) \) | \( m \cdot n \) | | \( P_n(F) \) | \( n + 1 \) | | \( \{0\} \) | \( 0 \) |