יחידה 0: מבוא -- השפה המתמטית

קבוצות -- מושגי יסוד

מהי קבוצה?

קבוצה (Set) היא אוסף של עצמים. לעצמים שמרכיבים קבוצה קוראים איברים.

דרכים להגדיר קבוצה

רשימה (ליסטינג): כותבים את כל האיברים בתוך סוגריים מסולסלים:

$A = \{1, 2, 3\}$

תיאור (בנייה): מגדירים תנאי שהאיברים מקיימים:

$B = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 5\} = \{0, 1, 2, 3, 4\}$

הקו $\mid$ נקרא "כך ש-" (such that).

סימונים בסיסיים

שייכות

סימון	משמעות	דוגמה
$\in$	שייך ל-	$3 \in \{1,2,3\}$
$\notin$	לא שייך ל-	$5 \notin \{1,2,3\}$

שייכות

\neq

הכלה

$\in$ הוא יחס בין איבר לבין קבוצה. $\subseteq$ הוא יחס בין קבוצה לבין קבוצה.

$3 \in \{1,2,3\} \quad\text{אבל}\quad 3 \not\subseteq \{1,2,3\}$ $\{3\} \subseteq \{1,2,3\} \quad\text{אבל}\quad \{3\} \notin \{1,2,3\}$

הכלה (תת-קבוצה)

סימון	משמעות	דוגמה
$A \subseteq B$	$A$ חלקית ל- $B$ (כל איבר של $A$ נמצא גם ב- $B$ )	$\{1,2\} \subseteq \{1,2,3\}$
$A \subsetneq B$	$A$ חלקית ממש ל- $B$ (חלקית, אבל $A \neq B$ )	$\{1,2\} \subsetneq \{1,2,3\}$
$A = B$	שוויון -- $A \subseteq B$ וגם $B \subseteq A$	$\{1,2\} = \{2,1\}$

הערות על קבוצות

הסדר לא משנה: $\{1, 2, 3\} = \{3, 1, 2\}$
כפילויות לא משנות: $\{1, 1, 2\} = \{1, 2\}$
הקבוצה הריקה $\emptyset = \{\}$ היא תת-קבוצה של כל קבוצה: $\emptyset \subseteq A$ לכל $A$

פעולות על קבוצות

טבלת פעולות

פעולה	סימון	הגדרה	דוגמה
איחוד	$A \cup B$	$\{x \mid x \in A \text{ או } x \in B\}$	$\{1,2\} \cup \{2,3\} = \{1,2,3\}$
חיתוך	$A \cap B$	$\{x \mid x \in A \text{ וגם } x \in B\}$	$\{1,2\} \cap \{2,3\} = \{2\}$
הפרש	$A \setminus B$	$\{x \mid x \in A \text{ וגם } x \notin B\}$	$\{1,2,3\} \setminus \{2\} = \{1,3\}$
משלים	$\overline{A}$	$\{x \in E \mid x \notin A\}$ (כש- $E$ = קבוצה אוניברסלית)	אם $E=\{1,2,3,4\}$ : $\overline{\{1,2\}} = \{3,4\}$
הפרש סימטרי	$A \triangle B$	$(A \setminus B) \cup (B \setminus A)$	$\{1,2\} \triangle \{2,3\} = \{1,3\}$

דיאגרמת ון (Venn Diagram)

תזכורת ויזואלית

איחוד $A \cup B$ : כל מה שבתוך לפחות אחד מהעיגולים.

חיתוך $A \cap B$ : רק החלק שבו שני העיגולים חופפים.

הפרש $A \setminus B$ : מה שב- $A$ אבל לא ב- $B$ .

משלים $\overline{A}$ : כל מה שמחוץ ל- $A$ (ביחס לקבוצה האוניברסלית).

קבוצות מספרים חשובות

סימון	שם	תיאור
$\mathbb{N}$	טבעיים	$\{0, 1, 2, 3, \ldots\}$
$\mathbb{Z}$	שלמים	$\{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$
$\mathbb{Q}$	רציונליים	$\left{\frac{p}{q} ;\middle
$\mathbb{R}$	ממשיים	כל הנקודות על ציר המספרים

שרשרת ההכלה:

$\mathbb{N} \subsetneq \mathbb{Z} \subsetneq \mathbb{Q} \subsetneq \mathbb{R}$

סימונים לוגיים בסיסיים

בקורס הזה נשתמש הרבה בסימונים לוגיים. הנה הסימונים החשובים ביותר:

סימון	שם	משמעות	דוגמה
$\land$	וגם (AND)	שני התנאים מתקיימים	$x > 0 \land x < 5$
$\lor$	או (OR)	לפחות תנאי אחד מתקיים	$x = 0 \lor x = 1$
$\lnot$	שלילה (NOT)	התנאי לא מתקיים	$\lnot(x > 3)$
$\Rightarrow$	גרירה (אם...אז)	אם התנאי הראשון נכון, גם השני	$x > 5 \Rightarrow x > 3$
$\Leftrightarrow$	אם ורק אם (iff)	שני התנאים שקולים	$x^2 = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2$
$\forall$	לכל (for all)	הטענה נכונה לכל ערך	$\forall n \in \mathbb{N}: n \geq 0$
$\exists$	קיים (exists)	יש לפחות ערך אחד שמקיים	$\exists n \in \mathbb{N}: n^2 = 4$

סיכום סימונים

כרטיס עזר: כל הסימונים במקום אחד

קבוצות: $\in$ , $\notin$ , $\subseteq$ , $\subsetneq$ , $\cup$ , $\cap$ , $\setminus$ , $\overline{A}$ , $\triangle$ , $\emptyset$

לוגיקה: $\land$ , $\lor$ , $\lnot$ , $\Rightarrow$ , $\Leftrightarrow$ , $\forall$ , $\exists$

מספרים: $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$

יחידה 0: מבוא -- השפה המתמטית

קבוצות -- מושגי יסוד

מהי קבוצה?

קבוצה (Set) היא אוסף של עצמים. לעצמים שמרכיבים קבוצה קוראים איברים.

דרכים להגדיר קבוצה

רשימה (ליסטינג): כותבים את כל האיברים בתוך סוגריים מסולסלים:

$A = \{1, 2, 3\}$

תיאור (בנייה): מגדירים תנאי שהאיברים מקיימים:

$B = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 5\} = \{0, 1, 2, 3, 4\}$

הקו $\mid$ נקרא "כך ש-" (such that).

סימונים בסיסיים

שייכות

סימון	משמעות	דוגמה
$\in$	שייך ל-	$3 \in \{1,2,3\}$
$\notin$	לא שייך ל-	$5 \notin \{1,2,3\}$

שייכות

\neq

הכלה

$\in$ הוא יחס בין איבר לבין קבוצה. $\subseteq$ הוא יחס בין קבוצה לבין קבוצה.

$3 \in \{1,2,3\} \quad\text{אבל}\quad 3 \not\subseteq \{1,2,3\}$ $\{3\} \subseteq \{1,2,3\} \quad\text{אבל}\quad \{3\} \notin \{1,2,3\}$

הכלה (תת-קבוצה)

סימון	משמעות	דוגמה
$A \subseteq B$	$A$ חלקית ל- $B$ (כל איבר של $A$ נמצא גם ב- $B$ )	$\{1,2\} \subseteq \{1,2,3\}$
$A \subsetneq B$	$A$ חלקית ממש ל- $B$ (חלקית, אבל $A \neq B$ )	$\{1,2\} \subsetneq \{1,2,3\}$
$A = B$	שוויון -- $A \subseteq B$ וגם $B \subseteq A$	$\{1,2\} = \{2,1\}$

הערות על קבוצות

הסדר לא משנה: $\{1, 2, 3\} = \{3, 1, 2\}$
כפילויות לא משנות: $\{1, 1, 2\} = \{1, 2\}$
הקבוצה הריקה $\emptyset = \{\}$ היא תת-קבוצה של כל קבוצה: $\emptyset \subseteq A$ לכל $A$

פעולות על קבוצות

טבלת פעולות

פעולה	סימון	הגדרה	דוגמה
איחוד	$A \cup B$	$\{x \mid x \in A \text{ או } x \in B\}$	$\{1,2\} \cup \{2,3\} = \{1,2,3\}$
חיתוך	$A \cap B$	$\{x \mid x \in A \text{ וגם } x \in B\}$	$\{1,2\} \cap \{2,3\} = \{2\}$
הפרש	$A \setminus B$	$\{x \mid x \in A \text{ וגם } x \notin B\}$	$\{1,2,3\} \setminus \{2\} = \{1,3\}$
משלים	$\overline{A}$	$\{x \in E \mid x \notin A\}$ (כש- $E$ = קבוצה אוניברסלית)	אם $E=\{1,2,3,4\}$ : $\overline{\{1,2\}} = \{3,4\}$
הפרש סימטרי	$A \triangle B$	$(A \setminus B) \cup (B \setminus A)$	$\{1,2\} \triangle \{2,3\} = \{1,3\}$

דיאגרמת ון (Venn Diagram)

תזכורת ויזואלית

איחוד $A \cup B$ : כל מה שבתוך לפחות אחד מהעיגולים.

חיתוך $A \cap B$ : רק החלק שבו שני העיגולים חופפים.

הפרש $A \setminus B$ : מה שב- $A$ אבל לא ב- $B$ .

משלים $\overline{A}$ : כל מה שמחוץ ל- $A$ (ביחס לקבוצה האוניברסלית).

קבוצות מספרים חשובות

סימון	שם	תיאור
$\mathbb{N}$	טבעיים	$\{0, 1, 2, 3, \ldots\}$
$\mathbb{Z}$	שלמים	$\{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$
$\mathbb{Q}$	רציונליים	$\left{\frac{p}{q} ;\middle
$\mathbb{R}$	ממשיים	כל הנקודות על ציר המספרים

שרשרת ההכלה:

$\mathbb{N} \subsetneq \mathbb{Z} \subsetneq \mathbb{Q} \subsetneq \mathbb{R}$

סימונים לוגיים בסיסיים

בקורס הזה נשתמש הרבה בסימונים לוגיים. הנה הסימונים החשובים ביותר:

סימון	שם	משמעות	דוגמה
$\land$	וגם (AND)	שני התנאים מתקיימים	$x > 0 \land x < 5$
$\lor$	או (OR)	לפחות תנאי אחד מתקיים	$x = 0 \lor x = 1$
$\lnot$	שלילה (NOT)	התנאי לא מתקיים	$\lnot(x > 3)$
$\Rightarrow$	גרירה (אם...אז)	אם התנאי הראשון נכון, גם השני	$x > 5 \Rightarrow x > 3$
$\Leftrightarrow$	אם ורק אם (iff)	שני התנאים שקולים	$x^2 = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2$
$\forall$	לכל (for all)	הטענה נכונה לכל ערך	$\forall n \in \mathbb{N}: n \geq 0$
$\exists$	קיים (exists)	יש לפחות ערך אחד שמקיים	$\exists n \in \mathbb{N}: n^2 = 4$

סיכום סימונים

כרטיס עזר: כל הסימונים במקום אחד

קבוצות: $\in$ , $\notin$ , $\subseteq$ , $\subsetneq$ , $\cup$ , $\cap$ , $\setminus$ , $\overline{A}$ , $\triangle$ , $\emptyset$

לוגיקה: $\land$ , $\lor$ , $\lnot$ , $\Rightarrow$ , $\Leftrightarrow$ , $\forall$ , $\exists$

מספרים: $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$