שאלות מבחן בנושא קבוצות

שאלה 1א - מבחן 2024 מועד א

השאלה

יהיו $A, B, C$ שלוש קבוצות שמקיימות $A \subseteq B \subseteq C$.

(I) הוכיחו: $(C \setminus B) \cup (B \setminus A) = (C \setminus A)$

(II) הוכיחו: $|C \setminus B| + |B \setminus A| = |C \setminus A|$

הפתרון

חלק (I) - הוכחה באמצעות הכלה דו-כיוונית:

כיוון $\subseteq$: יהי $x \in (C \setminus B) \cup (B \setminus A)$, אז $x \in B \setminus A$ או $x \in C \setminus B$, נפריד למקרים:

1. אם $x \in (B \setminus A)$ אז $x \in B$ ו-$x \notin A$, מההכלה $B \subseteq C$ נובע ש-$x \in C$ ולכן $x \in C \setminus A$

2. אם $x \in (C \setminus B)$ אז $x \in C$ ו-$x \notin B$, מההכלה $A \subseteq B$ נובע ש-$x \notin A$ ולכן $x \in C \setminus A$

כיוון $\supseteq$: יהי $x \in C \setminus A$, נפריד למקרים לפי האם $x \in B$:

1. אם $x \in B$ אז מההנחה $x \notin A$ ולכן $x \in B \setminus A$ ולכן באיחוד.

2. אם $x \notin B$ אז מההנחה $x \in C$ ולכן $x \in C \setminus B$ ולכן באיחוד.

חלק (II) - הוכחה:

נראה שהקבוצות $C \setminus B$, $B \setminus A$ הן זרות.

אכן, נניח בשלילה שקיים איבר $x \in (C \setminus B) \cap (B \setminus A)$. נובע ש-$x \in B \setminus A$ ולכן $x \in B$, מצד שני $x \in (C \setminus B)$ ולכן $x \notin B$, סתירה.

לכן: $|C \setminus B| + |B \setminus A| = |(C \setminus B) \cup (B \setminus A)| = |C \setminus A|$

כאשר המעבר הראשון מהגדרת חיבור עוצמות (לקבוצות זרות), והשני לפי סעיף א.

מושגים נבחנים

טעויות נפוצות

שאלות נוספות בנושא קבוצות

מבחן 2025 מועד א - שאלה 1

יהי יחס $S_{A,B}$ מ-$A$ ל-$\mathcal{P}(B)$ המוגדר: $S_{A,B} = \{\langle a, X \rangle \in A \times \mathcal{P}(B) \mid a \notin X\}$

(א) הוכיחו או הפריכו: לכל שתי קבוצות $A, B$, היחס $S_{A,B}$ הוא יחס מלא.

(ב) הוכיחו או הפריכו: לכל שתי קבוצות $A, B$, אם $A \neq \emptyset$ וגם $S_{A,B}$ יחס חד-ערכי, אז $B = \emptyset$.

טיפים לפתרון שאלות קבוצות