דף נוסחאות - חדו"א 2ב

נכתב על ידי Orin Levi

I. סדרות וטורי פונקציות

התכנסות

קריטריונים להתכנסות במ"ש

• קריטריון קושי: $f_n \rightrightarrows f$ אמ"מ $\forall\varepsilon>0\;\exists N$: $n,m \ge N \Rightarrow \sup_E|f_n - f_m| < \varepsilon$
• מבחן M של ויירשטראס: $\sup_E|f_n| \le M_n$ ו-$\sum M_n < \infty$ $\Rightarrow$ $\sum f_n$ מתכנס במ"ש ובהחלט
• דיני: $f_n$ מונוטונית, רציפה על קבוצה קומפקטית, $f_n \to f$ נקודתית ו-$f$ רציפה $\Rightarrow$ $f_n \rightrightarrows f$

מה שומרת התכנסות במ"ש

• רציפות: $f_n$ רציפות, $f_n \rightrightarrows f$ $\Rightarrow$ $f$ רציפה
• אינטגרביליות: $\int_a^b \lim f_n = \lim \int_a^b f_n$
• גזירות: אם $\sum f_n'$ מתכנס במ"ש ו-$\sum f_n(x_0)$ מתכנס, אז $\left(\sum f_n\right)' = \sum f_n'$

טורי חזקות

$C(z) = \sum_{k=0}^{\infty} c_k z^k, \qquad R = \frac{1}{\limsup_{k\to\infty}|c_k|^{1/k}}$

גזירה ואינטגרציה (בתוך רדיוס ההתכנסות):

$C'(z) = \sum_{k=1}^{\infty} kc_kz^{k-1}, \qquad \int_0^z C(t)\,dt = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{c_k}{k+1}z^{k+1}$

פיתוחי טיילור חשובים

$e^x = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}, \quad \sin x = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}, \quad \cos x = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}$

$\ln(1+x) = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{k+1}}{k+1}, \quad \arctan x = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1} \quad (|x| < 1)$

$\frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^{\infty}x^k \quad (|x| < 1)$

II. טורי פורייה

מקדמי פורייה

$\hat{f}(k) = \int_{-1/2}^{1/2} f(t)e^{-2\pi ikt}\,dt, \qquad e_k(t) = e^{2\pi ikt}$

מכפלה פנימית ונורמה

$\langle f, g\rangle = \int_0^1 f(t)\overline{g(t)}\,dt, \qquad \|f\| = \sqrt{\langle f,f\rangle} = \sqrt{\int_0^1|f(t)|^2\,dt}$

זהויות חשובות

גרעינים

$D_N(t) = \sum_{k=-N}^{N}e^{2\pi ikt} = \frac{\sin(\pi(2N+1)t)}{\sin(\pi t)} \quad \text{(דיריכלה)}$

$F_N(t) = \frac{1}{N}\cdot\frac{\sin^2(\pi Nt)}{\sin^2(\pi t)} \quad \text{(פיישר)}$

קונבולוציה

$(f*g)(t) = \int_0^1 f(t-s)g(s)\,ds, \qquad S_Nf = f * D_N$

תנאי התכנסות נקודתית

• הלדר: $|f(t_0+s)-f(t_0)| \le C|s|^\alpha$ לאיזה $\alpha > 0$
• דיני: $\int_0^{1/2}\frac{|f(t_0+s)+f(t_0-s)-2f(t_0)|}{s}\,ds < \infty$
• ז'ורדן: $f$ בעלת וריאציה חסומה

למת רימן-לבג

$\hat{f}(k) \to 0 \quad \text{כש-} |k| \to \infty$

III. טופולוגיה ב-$\mathbb{R}^n$

מטריקות

$d_p(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|_p = \left(\sum_{i=1}^n|x_i-y_i|^p\right)^{1/p}, \qquad d_\infty = \max_i|x_i-y_i|$

קומפקטיות ב-$\mathbb{R}^n$ (היינה-בורל)

$K \text{ קומפקטית} \iff K \text{ סגורה וחסומה}$

נקודת שבת (באנך)

$T: X \to X$ כיווץ במרחב שלם $\Rightarrow$ קיימת נקודת שבת יחידה $x^* = T(x^*)$.

IV. חשבון דיפרנציאלי בכמה משתנים

נגזרות חלקיות ודיפרנציאביליות

$\frac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{a}) = \lim_{h\to 0}\frac{f(\mathbf{a}+h\mathbf{e}_i)-f(\mathbf{a})}{h}$

$D_\mathbf{v}f(\mathbf{a}) = \nabla f(\mathbf{a})\cdot\mathbf{v} \quad \text{(נגזרת כיוונית, כאשר $f$ דיפרנציאבילית)}$

$f(\mathbf{a}+\mathbf{h}) = f(\mathbf{a}) + d_\mathbf{a}f(\mathbf{h}) + o(\|\mathbf{h}\|)$

גרדיאנט ויעקוביאן

$\nabla f(\mathbf{a}) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}\right), \qquad J_\mathbf{f}(\mathbf{a}) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\mathbf{a}) \end{pmatrix}_{i,j}$

כלל השרשרת

$J_{\mathbf{f}\circ\mathbf{g}}(\mathbf{x}_0) = J_\mathbf{f}(\mathbf{g}(\mathbf{x}_0))\cdot J_\mathbf{g}(\mathbf{x}_0)$

מקרה פרטי ($f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, $\mathbf{r}(t)$ מסילה):

$\frac{d}{dt}f(\mathbf{r}(t)) = \nabla f \cdot \dot{\mathbf{r}} = f_x\dot{x} + f_y\dot{y}$

משפט שוורץ

$f \in C^2 \Rightarrow f_{xy} = f_{yx}$

משפט הפונקציה ההפוכה

$\mathbf{f} \in C^1$, $\det J_\mathbf{f}(\mathbf{x}_0) \ne 0$ $\Rightarrow$ $\mathbf{f}$ הפיכה מקומית, $J_{\mathbf{f}^{-1}} = (J_\mathbf{f})^{-1}$

משפט הפונקציה הסתומה

$F(\mathbf{x}_0,\mathbf{y}_0) = c$, $\det\frac{\partial F}{\partial \mathbf{y}}(\mathbf{x}_0,\mathbf{y}_0) \ne 0$ $\Rightarrow$ מקומית $\mathbf{y} = \varphi(\mathbf{x})$ עם:

$J_\varphi = -\left(\frac{\partial F}{\partial \mathbf{y}}\right)^{-1}\frac{\partial F}{\partial \mathbf{x}}$

טיילור מסדר שני

$f(\mathbf{a}+\mathbf{h}) = f(\mathbf{a}) + \nabla f(\mathbf{a})\cdot\mathbf{h} + \frac{1}{2}\mathbf{h}^T H_f(\mathbf{a})\mathbf{h} + O(\|\mathbf{h}\|^3)$

כאשר $H_f = \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}\right)$ היא מטריצת ההסיאן.

קיצון מקומי

תנאי הכרחי: $\nabla f(\mathbf{a}) = \mathbf{0}$

מבחן לשני משתנים ($D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$):

כופלי לגרנז'

נתון $\nabla f(\mathbf{a}) = \lambda_1\nabla g_1(\mathbf{a}) + \cdots + \lambda_m\nabla g_m(\mathbf{a})$ על האילוצים $g_i(\mathbf{x}) = 0$.

V. חשבון אינטגרלי בכמה משתנים

אינטגרל רימן על תיבות

$\operatorname{vol}(B) = \prod_{i=1}^n(b_i-a_i)$

$L(f,P) = \sum_j m_j\operatorname{vol}(B_j) \le \int_B f \le U(f,P) = \sum_j M_j\operatorname{vol}(B_j)$

משפט לבג

$f \text{ אינטגרבילית רימן} \iff f \text{ רציפה כמעט בכל מקום (קבוצת אי-הרציפות זניחה)}$

משפט פוביני

$\int_B f = \int_{a_1}^{b_1}\left(\int_{a_2}^{b_2}f(x,y)\,dy\right)dx = \int_{a_2}^{b_2}\left(\int_{a_1}^{b_1}f(x,y)\,dx\right)dy$

על תחום כללי:

$\int_\Omega f = \int_a^b\left(\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\,dy\right)dx$

החלפת משתנים

$\int_V f(\mathbf{y})\,d\mathbf{y} = \int_U f(\mathbf{T}(\mathbf{x}))\,|\det J_\mathbf{T}(\mathbf{x})|\,d\mathbf{x}$

קואורדינטות מיוחדות

קוטביות ($x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$): $dA = r\,dr\,d\theta$

כדוריות ($x = r\sin\varphi\cos\theta$, $y = r\sin\varphi\sin\theta$, $z = r\cos\varphi$): $dV = r^2\sin\varphi\,dr\,d\theta\,d\varphi$

אינטגרלים לא אמיתיים

• מבחן השוואה: $|f| \le g$ ו-$g$ אינטגרבילית $\Rightarrow$ $f$ אינטגרבילית
• אינטגרל גאוסי: $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}$

נפחים שימושיים

$S_{\text{מעגל}} = \pi R^2, \qquad V_{\text{כדור}} = \frac{4}{3}\pi R^3$