# פרק 6: מרחבים אוקלידיים וטופולוגיה ## 6.1 הגדרת מרחב מטרי !!! info "הגדרה 6.1 (מרחב מטרי)" **מרחב מטרי** הוא זוג $(X, d)$ כאשר $X$ קבוצה לא ריקה ו-$d: X \times X \to [0,\infty)$ פונקציה (מטריקה) המקיימת לכל $x,y,z \in X$: 1. **אי-שליליות וזהות:** $d(x,y) = 0 \iff x = y$ 2. **סימטריה:** $d(x,y) = d(y,x)$ 3. **אי-שוויון המשולש:** $d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$ ## 6.2 דוגמאות !!! example "דוגמה 1 — מטריקה דיסקרטית" על כל קבוצה $X$: $d(x,y) = \begin{cases} 0, & x=y \\ 1, & x\ne y \end{cases}$ !!! example "דוגמה 2 — $\mathbb{R}^n$ עם מטריקות $\ell^p$" על $\mathbb{R}^n$, לכל $1 \le p \le \infty$: $$d_p(x,y) = \|x-y\|_p = \begin{cases} \left(\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^p\right)^{1/p}, & 1 \le p < \infty \\ \max_{1\le i\le n}|x_i-y_i|, & p = \infty \end{cases}$$ המקרה $p=2$ הוא המטריקה **האוקלידית** הרגילה. !!! example "דוגמה 3 — מרחב $C[a,b]$" על מרחב הפונקציות הרציפות $C[a,b]$: $$d_\infty(f,g) = \|f-g\|_\infty = \max_{t\in[a,b]}|f(t)-g(t)|$$ זוהי **נורמת הסופרמום** (uniform metric). !!! example "דוגמה 4 — מרחב $\ell^2$" $$\ell^2 = \left\{(x_n)_{n=1}^\infty : \sum_{n=1}^\infty |x_n|^2 < \infty\right\}, \quad d(x,y) = \sqrt{\sum_{n=1}^\infty |x_n-y_n|^2}$$ ## 6.3 טופולוגיה במרחבים מטריים !!! info "הגדרה 6.2 (כדור פתוח)" **הכדור הפתוח** ברדיוס $r > 0$ סביב $x \in X$: $$B(x,r) = \{y \in X : d(x,y) < r\}$$ !!! info "הגדרה 6.3 (קבוצה פתוחה)" $U \subseteq X$ **פתוחה** אם לכל $x \in U$ קיים $r > 0$ כך ש-$B(x,r) \subseteq U$. !!! success "טענה 6.4 (תכונות קבוצות פתוחות)" 1. $\emptyset$ ו-$X$ פתוחות. 2. איחוד (אפילו אינסופי) של פתוחות הוא פתוח. 3. חיתוך **סופי** של פתוחות הוא פתוח. 4. כל כדור פתוח הוא קבוצה פתוחה. !!! info "הגדרה 6.5 (קבוצה סגורה)" $F \subseteq X$ **סגורה** אם המשלים שלה $X \setminus F$ פתוח. !!! info "הגדרה 6.6 (סגור, פנים, גבול)" - **סגור** (closure): $\overline{A} = \{x \in X : \forall r>0,\; B(x,r) \cap A \ne \emptyset\}$ - **פנים** (interior): $A^\circ = \{x \in A : \exists r>0,\; B(x,r) \subseteq A\}$ - **שפה** (boundary): $\partial A = \overline{A} \setminus A^\circ$ !!! success "טענה 6.7" - $A^\circ$ הקבוצה הפתוחה הגדולה ביותר הכלולה ב-$A$. - $\overline{A}$ הקבוצה הסגורה הקטנה ביותר המכילה את $A$. - $A$ פתוחה $\iff$ $A = A^\circ$; $A$ סגורה $\iff$ $A = \overline{A}$. ## 6.4 סדרות וגבולות !!! info "הגדרה 6.8 (התכנסות)" סדרה $(x_n)$ ב-$(X,d)$ **מתכנסת** ל-$x$ אם $d(x_n, x) \to 0$, כלומר: $$\forall \varepsilon>0 \;\exists N \;\forall n\ge N: d(x_n,x) < \varepsilon$$ !!! success "טענה 6.9 (יחידות הגבול)" במרחב מטרי, לכל סדרה מתכנסת הגבול יחיד. ??? example "הוכחה" אם $x_n \to x$ וגם $x_n \to y$, אז $0 \le d(x,y) \le d(x,x_n)+d(x_n,y) \to 0$. לכן $d(x,y)=0$ ו-$x=y$. $\blacksquare$ !!! success "טענה 6.10 (אפיון הסגור דרך סדרות)" $x \in \overline{A}$ אם ורק אם קיימת סדרה $(a_n) \subseteq A$ עם $a_n \to x$. ## 6.5 פונקציות רציפות !!! info "הגדרה 6.11 (רציפות)" $f: (X,d_X) \to (Y,d_Y)$ **רציפה** ב-$x_0 \in X$ אם: $$\forall \varepsilon>0 \;\exists \delta>0: d_X(x,x_0)<\delta \implies d_Y(f(x),f(x_0))<\varepsilon$$ !!! success "משפט 6.12 (אפיונים שקולים לרציפות)" התנאים הבאים שקולים: 1. $f$ רציפה בכל נקודה. 2. לכל פתוחה $V \subseteq Y$: $f^{-1}(V)$ פתוחה ב-$X$. 3. לכל סגורה $F \subseteq Y$: $f^{-1}(F)$ סגורה ב-$X$. 4. לכל סדרה $x_n \to x$ ב-$X$: $f(x_n) \to f(x)$ ב-$Y$. ## 6.6 תתי-מרחבים ומרחבי מכפלה !!! info "הגדרה 6.13 (תת-מרחב)" אם $(X,d)$ מרחב מטרי ו-$A \subseteq X$, אז $(A, d|_{A\times A})$ מרחב מטרי — **תת-המרחב** $A$. !!! info "הגדרה 6.14 (מכפלה)" עבור $(X_1,d_1)$ ו-$(X_2,d_2)$, נגדיר על $X_1\times X_2$: $$d\bigl((x_1,x_2),(y_1,y_2)\bigr) = \max\{d_1(x_1,y_1), d_2(x_2,y_2)\}$$ ## 6.7 קבוצות צפופות וספרביליות !!! info "הגדרה 6.15 (קבוצה צפופה)" $A \subseteq X$ **צפופה** ב-$X$ אם $\overline{A} = X$. כלומר, לכל $x\in X$ ולכל $r>0$: $B(x,r)\cap A \ne \emptyset$. !!! info "הגדרה 6.16 (ספרביליות)" מרחב מטרי $(X,d)$ **ספרבילי** אם קיימת בו קבוצה צפופה בת-מנייה. !!! example "דוגמה" - $\mathbb{Q}^n$ צפופה ב-$\mathbb{R}^n$, לכן $\mathbb{R}^n$ ספרבילי. - $C[a,b]$ ספרבילי (ממשפט ויירשטראס: פולינומים עם מקדמים רציונליים צפופים). - מרחב דיסקרטי לא-בן-מנייה **אינו** ספרבילי. ## 6.8 סדרות קושי ומרחבים שלמים !!! info "הגדרה 6.17 (סדרת קושי)" סדרה $(x_n)$ ב-$(X,d)$ נקראת **סדרת קושי** אם: $$\forall \varepsilon>0 \;\exists N \;\forall m,n\ge N: d(x_m,x_n) < \varepsilon$$ !!! info "הגדרה 6.18 (מרחב שלם)" מרחב מטרי $(X,d)$ **שלם** אם כל סדרת קושי ב-$X$ מתכנסת (ל-$X$). !!! note "הערה" כל סדרה מתכנסת היא סדרת קושי (מאי-שוויון המשולש). הכיוון ההפוך לא תמיד מתקיים. !!! example "דוגמה — מרחבים שלמים" - $\mathbb{R}^n$ עם כל מטריקת $\ell^p$ — שלם. - $C[a,b]$ עם נורמת הסופרמום — שלם. - $\ell^2$ — שלם. - $\mathbb{Q}$ — **לא** שלם. !!! success "משפט 6.19 (שלמות $\mathbb{R}^n$)" $\mathbb{R}^n$ עם המטריקה האוקלידית הוא מרחב שלם. ??? example "הוכחה" תהי $(x^{(k)})$ סדרת קושי ב-$\mathbb{R}^n$. לכל $1 \le i \le n$: $$|x_i^{(k)} - x_i^{(m)}| \le \|x^{(k)}-x^{(m)}\|$$ לכן $(x_i^{(k)})_k$ סדרת קושי ב-$\mathbb{R}$, ומשלמות $\mathbb{R}$ מתכנסת ל-$x_i$. הוקטור $x = (x_1,\ldots,x_n)$ הוא הגבול. $\blacksquare$ !!! success "משפט 6.20 (שלמות $C[a,b]$)" $C[a,b]$ עם נורמת הסופרמום הוא מרחב שלם. ??? example "הוכחה" תהי $(f_n)$ סדרת קושי ב-$C[a,b]$. לכל $t \in [a,b]$: $|f_n(t)-f_m(t)|\le\|f_n-f_m\|_\infty$, לכן $(f_n(t))$ סדרת קושי ב-$\mathbb{R}$ ומתכנסת לגבול $f(t)$. ההתכנסות היא במ"ש (מתנאי קושי), ולכן $f$ רציפה (גבול במ"ש של רציפות הוא רציף). $\blacksquare$ ## 6.9 משפט הנקודה השבת של בנך !!! info "הגדרה 6.21 (כיווץ)" $T: X \to X$ נקראת **כיווץ** (contraction) אם קיים $0 \le q < 1$ כך שלכל $x,y \in X$: $$d(Tx, Ty) \le q\cdot d(x,y)$$ !!! success "משפט 6.22 (הנקודה השבת של בנך — Banach Fixed Point)" יהי $(X,d)$ מרחב מטרי **שלם** ו-$T:X\to X$ כיווץ עם קבוע $q<1$. אז: 1. קיימת **נקודה שבת** יחידה: $x^* \in X$ עם $Tx^* = x^*$. 2. לכל $x_0 \in X$, הסדרה $x_{n+1} = Tx_n$ מתכנסת ל-$x^*$. 3. **הערכת שגיאה:** $d(x_n, x^*) \le \frac{q^n}{1-q}\cdot d(x_0, x_1)$. ??? example "הוכחה" **יחידות:** אם $Tx^*=x^*$ וגם $Ty^*=y^*$, אז $d(x^*,y^*) = d(Tx^*,Ty^*) \le qd(x^*,y^*)$. כיוון ש-$q<1$: $d(x^*,y^*)=0$. **קיום:** נגדיר $x_{n+1}=Tx_n$. אז $d(x_{n+1},x_n) \le q\cdot d(x_n,x_{n-1}) \le \cdots \le q^n d(x_1,x_0)$. לכל $m>n$: $$d(x_n,x_m) \le \sum_{k=n}^{m-1}d(x_k,x_{k+1}) \le d(x_0,x_1)\sum_{k=n}^{m-1}q^k \le \frac{q^n}{1-q}d(x_0,x_1)$$ לכן $(x_n)$ סדרת קושי, ומשלמות מתכנסת ל-$x^*$. מרציפות $T$: $Tx^* = T(\lim x_n) = \lim Tx_n = \lim x_{n+1} = x^*$. $\blacksquare$ ## 6.10 השלמה של מרחב מטרי !!! success "משפט 6.23 (קיום ההשלמה)" לכל מרחב מטרי $(X,d)$ קיים מרחב מטרי שלם $(\tilde{X},\tilde{d})$ והעתקה איזומטרית $\iota: X \to \tilde{X}$ כך ש-$\iota(X)$ צפופה ב-$\tilde{X}$. ההשלמה יחידה עד כדי איזומטריה. !!! note "הערה" הבנייה: מגדירים יחס שקילות על סדרות קושי ב-$X$ (שתי סדרות שקולות אם המרחק ביניהן שואף ל-$0$), ואז $\tilde{X}$ הוא מרחב מחלקות השקילות. דוגמה: ההשלמה של $\mathbb{Q}$ היא $\mathbb{R}$. --- ## תרגילים !!! question "תרגיל 1" הוכיחו שהחיתוך $\bigcap_{n=1}^\infty U_n$ של מספר בן-מנייה של פתוחות לא בהכרח פתוח. תנו דוגמה ב-$\mathbb{R}$. ??? success "פתרון" נגדיר $U_n = (-\frac{1}{n}, \frac{1}{n})$. כל $U_n$ פתוחה ב-$\mathbb{R}$. $\bigcap_{n=1}^\infty U_n = \{0\}$, שאינה פתוחה (כל סביבה של $0$ מכילה נקודות שאינן ב-$\{0\}$). $\blacksquare$ !!! question "תרגיל 2" יהי $(X,d)$ מרחב מטרי שלם ו-$T:X\to X$ כך ש-$T^m$ (הרכבה $m$ פעמים) היא כיווץ עבור $m$ כלשהו. הוכיחו שגם ל-$T$ יש נקודה שבת יחידה. ??? success "פתרון" לפי משפט בנך, ל-$T^m$ יש נקודה שבת יחידה $x^*$: $T^m(x^*)=x^*$. נראה ש-$x^*$ גם נקודה שבת של $T$: $T^m(Tx^*) = T(T^m x^*) = Tx^*$. כלומר $Tx^*$ גם נקודה שבת של $T^m$. מיחידות: $Tx^* = x^*$. יחידות: אם $Ty=y$ אז $T^m y = y$, ומיחידות הנקודה השבת של $T^m$: $y=x^*$. $\blacksquare$ !!! question "תרגיל 3" הוכיחו שתת-מרחב סגור של מרחב שלם הוא שלם. האם ההפך נכון? ??? success "פתרון" יהי $(X,d)$ שלם ו-$F \subseteq X$ סגורה. תהי $(x_n)$ סדרת קושי ב-$F$. אז $(x_n)$ סדרת קושי ב-$X$, ומשלמות $X$ מתכנסת ל-$x \in X$. כיוון ש-$F$ סגורה ו-$(x_n) \subseteq F$ מתכנסת ל-$x$: $x \in F$. **ההפך:** לא בהכרח. תת-מרחב שלם לא חייב להיות סגור. אבל במרחב מטרי, תת-מרחב שלם **כן** סגור: אם $x \in \overline{F}$ אז קיימת $(x_n)\subseteq F$ עם $x_n\to x$, שהיא סדרת קושי, ומשלמות $F$: $x \in F$. כלומר ההפך **כן** נכון: תת-מרחב שלם של מרחב מטרי הוא סגור. $\blacksquare$