דף נוסחאות

מבוסס על calculus1B-extended_formula_sheet.pdf.

נוסחאות טריגונומטריות

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$
$\sin(x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y$
$\cos(x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y$
$\sin(2x) = 2\sin x \cos x$ , $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$
$\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$ , $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$
$\cos\theta\cos\phi = \frac{\cos(\theta-\phi) + \cos(\theta+\phi)}{2}$
$\sin\theta\sin\phi = \frac{\cos(\theta-\phi) - \cos(\theta+\phi)}{2}$
$\sin\theta \pm \sin\phi = 2\sin\frac{\theta\pm\phi}{2}\cos\frac{\theta\mp\phi}{2}$
$\cos\theta + \cos\phi = 2\cos\frac{\theta+\phi}{2}\cos\frac{\theta-\phi}{2}$
$\cos\theta - \cos\phi = -2\sin\frac{\theta+\phi}{2}\sin\frac{\theta-\phi}{2}$
$\cos(\arctan x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ , $\sin(\arctan x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$
$\sin(\arccos x) = \cos(\arcsin x) = \sqrt{1-x^2}$

אי־שוויון המשולש: $||x| - |y|| \le |x-y| \le |x| + |y|$
אי־שוויון הממוצעים: $\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\cdots+\frac{1}{x_n}} \le \sqrt[n]{x_1\cdots x_n} \le \frac{x_1+\cdots+x_n}{n}$
אי־שוויון ברנולי: $1 + nx \le (1+x)^n$ (למתאימים)

בינום ניוטון: $(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k y^{n-k}$ , $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$
$x^n - y^n = (x-y)(x^{n-1} + x^{n-2}y + \cdots + xy^{n-2} + y^{n-1})$
סכום סדרה הנדסית: $\sum_{k=0}^n q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$
$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ , $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

לכל $\lambda \neq -1$ : $\int x^\lambda\,dx = \frac{x^{\lambda+1}}{\lambda+1} + C$

נוסחאות טריגונומטריות

\cos^2 x + \sin^2 x = 1

\sin(x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y

\cos(x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y

\sin(2x) = 2\sin x \cos x

\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x

\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}

\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}

\cos\theta\cos\phi = \frac{\cos(\theta-\phi) + \cos(\theta+\phi)}{2}

\sin\theta\sin\phi = \frac{\cos(\theta-\phi) - \cos(\theta+\phi)}{2}

\sin\theta \pm \sin\phi = 2\sin\frac{\theta\pm\phi}{2}\cos\frac{\theta\mp\phi}{2}

\cos\theta + \cos\phi = 2\cos\frac{\theta+\phi}{2}\cos\frac{\theta-\phi}{2}

\cos\theta - \cos\phi = -2\sin\frac{\theta+\phi}{2}\sin\frac{\theta-\phi}{2}

\cos(\arctan x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}

\sin(\arctan x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}

\sin(\arccos x) = \cos(\arcsin x) = \sqrt{1-x^2}

אי־שוויונות נפוצים

אי־שוויון המשולש:

||x| - |y|| \le |x-y| \le |x| + |y|

אי־שוויון הממוצעים:

\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\cdots+\frac{1}{x_n}} \le \sqrt[n]{x_1\cdots x_n} \le \frac{x_1+\cdots+x_n}{n}

אי־שוויון ברנולי:

1 + nx \le (1+x)^n

(למתאימים)

נוסחאות כלליות

בינום ניוטון:

(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k y^{n-k}

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2

x^n - y^n = (x-y)(x^{n-1} + x^{n-2}y + \cdots + xy^{n-2} + y^{n-1})

סכום סדרה הנדסית:

\sum_{k=0}^n q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}

\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}

\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

חזקות ולוגריתמים

x^r x^s = x^{r+s}

(x^r)^s = x^{rs}

\ln(xy) = \ln x + \ln y

\ln(x/y) = \ln x - \ln y

\ln(x^r) = r\ln x

e^{\ln x} = x

\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}

פונקציות קדומות (אינטגרל לא מסוים)

לכל

\lambda \neq -1

\int x^\lambda\,dx = \frac{x^{\lambda+1}}{\lambda+1} + C

\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C

\int \sin x\,dx = -\cos x + C

\int \cos x\,dx = \sin x + C

\int e^x\,dx = e^x + C

\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C

פולינומי טיילור (בנקודה)

\frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^n x^k + R_n(x)

e^x = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} + R_n(x)

\ln(1+x) = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1} x^k}{k} + R_n(x)

\sin x = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!} + R_{2n+1}(x)

\cos x = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!} + R_{2n}(x)