פרק 2: המספרים הממשיים

נסמן $m = \inf A$.

שלב 1: $-m$ חסם מלעיל של $-A$.

יהי $-a \in -A$. אז $a \in A$, לכן $a \ge m$, ולכן $-a \le -m$. $\checkmark$

שלב 2: $-m$ החסם מלעיל הקטן ביותר.

יהי $\varepsilon > 0$. לפי אפיון inf, קיים $a \in A$ כך ש-$a < m + \varepsilon$.

לכן $-a > -m - \varepsilon$, ו-$-a \in -A$.

לכן $-m - \varepsilon$ אינו חסם מלעיל של $-A$.

מכאן $\sup(-A) = -m = -\inf A$. $\blacksquare$

נסמן $A = \{1 - \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N}\}$.

שלב 1: $1$ חסם מלעיל.

לכל $n \in \mathbb{N}$: $\frac{1}{n} > 0$, לכן $1 - \frac{1}{n} < 1$. $\checkmark$

שלב 2: לכל $\varepsilon > 0$ קיים איבר גדול מ-$1 - \varepsilon$.

מהתכונה הארכימדית, קיים $n \in \mathbb{N}$ כך ש-$n > \frac{1}{\varepsilon}$, כלומר $\frac{1}{n} < \varepsilon$.

לכן $1 - \frac{1}{n} > 1 - \varepsilon$, והאיבר $1 - \frac{1}{n} \in A$. $\checkmark$

מכאן $\sup A = 1$. $\blacksquare$